Calculo Original

1.- Trabajo realizado por una fuerza constante

Se usa en la actualidad el termino trabajo es utilizado en diferentes ámbitddos en la vida cotidiana, ya sea como una acción que resulta de esfuerzo físico, mental, emocional, etc. En física el termino trabajo tiene un significado especifico, el trabajo implica fuerza y desplazamiento, y usamos la palabra trabajo para describir cuantitativamente lo que se obtiene cuando una fuerza mueve un objeto en cierta distancia.

En el caso en donde una fuerza constante actúa sobre un objeto, el trabajo resultante se define como:

Definición

“El trabajo efectuado por una fuerza constante que actúa sobre un objeto es igual al producto de las magnitudes del desplazamiento y el componente de la fuerza paralelo a ese desplazamiento”.

Entonces, el trabajo implica mover un objeto cierta distancia, se podría aplicar una fuerza, demostrada en la figura a), pero si no existe un desplazamiento, no se efectuaría un trabajo. Para una fuerza constante F que efectúa en la misma dirección que el desplazamiento d, mostrada en la figura b), el trabajo (W) se define como el producto de sus magnitudes:

W=Fd

Resumiendo lo único que efectúa trabajo es una fuerza, paralela a la línea de movimiento o desplazamiento del objeto figura c). Si la fuerza actúa con un ángulo θ respecto al desplazamiento del objeto, F1= F cos⁡θ será el componente de la fuerza paralelo al desplazamiento. Por lo tanto la siguiente ecuación describe el trabajo efectuado por una fuerza constante es

En donde θ es el ángulo entre los vectores de fuerza y desplazamiento. Se puede escribir cos⁡θ entre las magnitudes de la fuerza y desplazamiento como en la anterior ecuación. Si θ = 0 (si la fuerza y el desplazamiento tienen la misma dirección, como en la b) entonces W =(F cos⁡(0) ) = Fd, y la ecuación anterior se reduce a la ecuación W=Fd. El componente perpendicular de la fuerza, F1= F sen⁡θ no efectua trabajo, porque no existe desplazamiento en esta dirección.

Las unidades del trabajo se pueden determinar de la ecuación W=Fd. Con la fuerza en newtons y el desplazamiento en metros, el trabajo tiene la unidad especial denominada joule (J), a continuación se demuestra un ejemplo:

Calcular el trabajo realizado por una fuerza de 25N sobre un objeto mientras este realiza un desplazamiento paralelo de 2 m.

W=Fd

W = (25N)(2) = 50J.

Por la ecuación anterior se observa que el trabajo maneja la unidad libra- pie, que comúnmente suele escribirse al revés pie- libra ((ft)⁡(lb) ). Un ((ft)⁡(lb) )es equivalente a 1.36J. El trabajo se puede analizar gráficamente, supongamos que una fuerza constante F actúa sobre un objeto mientras se mueve una distancia x. entones W=Fx, y si se grafica F contra x, obtendremos una grafica de línea recta como en la grafica siguiente:

El área bajo la línea es Fx, asi que esta área es igual trabajo efectuado por la fuerza sobre la distancia dada. Recordando lo anterior el trabajo es una cantidad escalar y como tal, puede tener un valor positivo o negativo. En la figura b) el trabajo es positivo, porque la fuerza actúa en la misma dirección que el desplazamiento. El trabajo también es positivo en la figura c) porque un componente de fuerza actúa en la dirección del desplazamiento. Sin embargo si la fuerza actúa en dirección opuesta al desplazamiento, el trabajo es negativo, porque el termino coseno es negativo. Un ejemplo seria cuando se trabaja cos⁡(180) = -1 (fuerza opuesta al desplazamiento) lo cual implica un trabajo negativo:

Problemas

Trabajo realizado por una fuerza constante

Problema 1.- Una estudiante sostiene su libro de texto de psicología, que tiene una masa de 1.5 Kg, afuera de una ventana del segundo piso de su residencia hasta que su brazo se cansa; entonces lo suelta calcular:

a) ¿Cuánto trabajo efectúa la estudiante sobre el libro por el simple echo de sostenerlo sobre la acera?

b) ¿Cuánto trabajo efectúa la fuerza de gravedad durante el tiempo en que el libro cae 3 m?

Solución:

Analizamos las situaciones en términos de la definición de trabajo, recordando que fuerza y desplazamiento son los factores clave. Para el problema se cuentan con los siguientes datos:

v (0)= 0 (inicialmente en reposo)

m = 1.5Kg

d =3 m

Entonces para el inciso a) se tiene:

Aunque la estudiante se cansa por el echo de efectuar un trabajo en el cuerpo para sostener el libro no efectúa algún trabajo sobre el libro por el echo de que este se mantiene estacionario, la estudiante ejerce una fuerza hacia arriba sobre el libro para sostenerlo por lo cual no existe desplazamiento por lo tanto

W=Fd

W = (F)(0) = 0J

Para el inciso b) se tiene:

Mientras el libro cae, la única fuerza que actúa sobre él es la gravedad, que es igual en magnitud al peso del libro

F=w=mg (Despreciando la resistencia del aire)

El desplazamiento es en la misma dirección de la fuerza por lo que θ = 0 y tiene una magnitud de d = 3m así que el trabajo efectuado por la gravedad es:

W= F(cos⁡(0))d=(mg)d=(1.5kg)(9.8 m/s^2 )(3m)=44J

Por lo regular se especifica que fuerza efectúa trabajo sobre que objeto, por ejemplo, la fuerza de gravedad efectúa trabajo sobre un objeto que cae, como el ejemplo del libro, también, cuando levantamos un objeto realizamos un trabajo sobre dicho objeto, comúnmente se describe este como efectuar trabajo contra la gravedad, porque la fuerza de gravedad actúa en la dirección opuesta a la fuerza de levantamiento aplicada y se opone a ella. Por ejemplo una manzana tiene un peso 1N, si levantamos una manzana a una distancia de 1m con una fuerza infinitesimalmente mayor a su peso habríamos efectuado 1 J de trabajo contra la gravedad, en este ejemplo una sola fuerza efectúa el trabajo. Si dos o mas fuerzas actúan sobre un objeto, se puede calcular individualmente el trabajo efectuado por cada una:

Problema 2.- Un bloque de 0.75 Kg se desliza con velocidad uniforme bajando por un plano inclinado de 20 Grados como se muestra en la figura 1 calcular:

¿cuanto trabajo efectúa la fuerza de fricción sobre el bloque

Mientras se desliza la longitud total del plano?

b) ¿Qué trabajo neto se efectúa sobre el bloque?

El problema contiene los siguientes datos:

m = 0.75 Kg

θ = 20o

Solución:

Para el inciso a) se tiene: Podemos obtener la longitud del plano por trigonometría, así que esto se reduce a calcular la fuerza de fricción

En la figura 1 vemos que solo dos fuerzas efectúan trabajo, porque solo dos son paralelas al movimiento f_K, la fuerza de fricción cinética, y mg sen⁡θ el componente del peso del bloque que actua paralelo al plano.

La fuerza normal N y mg cos⁡θ el componente del peso del bloque perpendicular al plano, no efectúan trabajo sobre el bloque. Primero se calcula la fuerza de fricción:

WF= F_K (cos⁡(〖180〗^0))d=-F_x d=-μ_K Nd

El ángulo de 180o indica que la fuerza y el desplazamiento tiene direcciones opuestas (Es común en tales casos escribir 〖W_f=-f〗_K d directamente, pues la fricción cinética por lo regular se opone al movimiento). La distancia d que el bloque se desliza se obtiene por trigonometría dado que θ=L/d.

d=L/cos⁡θ

Sabemos que N = mg cos⁡θ pero ¿Cuánto vame μ_K? Cuanto hace falta esta variable se opta por tomar otro camino en la solución, se sabe que solo hay dos fuerzas paralelas al movimiento, y son opuestas. Dado que la velocidad es constante, sus magnitudes deben ser iguales, así que f_K=mgsenθ. Por tanto se tiene:

W_f=-f_K d= -(mg senθ)(L/cosθ)=-mgL tan⁡〖〖20〗^0 〗

= -(0.75 Kg)(9.8 m/s^2)(1.2m)(0.364)=-3.2J

Para el inciso b) se tiene:

Para obtener el trabajo neto o total necesitamos calcular el trabajo efectuado por la gravedad y sumarlo a nuestro resultado de la parte a). puesto F1 para la gravedad no es mas que mg senθ, tenemos:

W_g=f_1 d= (mg senθ)(L/cosθ)=mgL tan⁡〖〖20〗^0 〗

= (0.75 Kg)(9.8 m/s^2)(1.2m)(0.364)=3.2J

Donde el cálculo es el mismo que en el inciso a) salvo que difieren en el signo por lo tanto la fuerza total es:

W_neto= W_g+ W_f= +3.2J+(-3.2J)=0J

Problema 3.- Un bloque de 2.5 Kg de masa es empujado 2.2m a lo largo de una mesa horizontal sin ficción por una fuerza constante de 16 N, dirigida a 25o debajo de la horizontal como muestra la figura 1.2. Encontrar el trabajo efectuado por:

a) la fuerza aplicada

b) la fuerza normal ejercida sobre la mesa

c) la fuerza de la gravedad

d) la fuerza total sobre el bloque

Solución:

Para el problema se tienen los siguientes datos

m = 2.2 Kg

d = 16N

θ = 250

Para el inciso a) se tiene:

W_f= f(cos⁡θ )d= (16)(2.2)( cos⁡25) = 31.9 J

Para el inciso b) se tiene un ángulo de 90o ya que es el ángulo entre la fuerza normal y el desplazamiento del bloque.

W_n= f(cos⁡θ )d= (16)(2.2)(cos⁡90) = 0J

Para

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