Clasificación De Los Flujos De Efectivo

SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES / EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1:

Hay que factorizar todo lo que se pueda, tanto en el numerador como en el denominador. En el numerador apliqué el 5to Caso (Diferencia de Cuadrados); y en el denominador, el 1er Caso (Factor Común).

Luego, se simplifican los polinomios que "aparezcan repetidos", siempre tachando "uno de arriba con uno de abajo", como en este caso el binomio (x - 2).

Condición para simplificar: x desigual a 2.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

1) Factorizar y reemplazar:

Factorizo todos los polinomios que se puedan factorizar (Hay que saber aplicar los Casos de Factoreo), y los reemplazo en la fracción:

x2 - 4 = con el Quinto Caso de Factoreo (Diferencia de Cuadrados)

x 2

(x + 2).(x - 2)

Entonces, reemplazo en la fracción a x2 - 4 por su equivalente: (x + 2).(x - 2).

La fracción va quedando así:

Ahora factorizo 3x - 6, con el Primer Caso de Factoreo (Factor Común):

3x - 6 =

3.(x - 2)

Entonces, reemplazo en la fracción a 3x - 6 por su equivalente: 3.(x - 2).

La fracción va quedando así:

2) Simplificar:

Así, me encuentro con que el polinomio (x - 2) está multiplicando "arriba y abajo" en la fracción ("en el numerador y en el denominador"). Entonces puedo tacharlos, cancelarlos, simplificarlos (¿por qué se puede hacer eso?):

Como los taché, en el próximo paso no los escribo. Es decir, queda solamente lo que no taché (¿por qué?):

Y así se simplificó todo lo que se podía en la fracción. Ese es el resultado final del ejercicio.

No siempre luego de tachar queda algo arriba y/o abajo de la fracción. A veces se cancela todo: no queda nada. En esos casos hay que pensar que lo que queda en realidad es un "1", pero eso está explicado en otros ejemplos: EJEMPLO 2 y EJEMPLO 3.

3) Para qué valores de x vale esta simplificación:

Como ya lo expliqué los conceptos generales, la mayoría de las veces la simplificación no vale para todos los valores de x. Sólo vale para aquellos valores de x para los cuales el o los polinomios que simplifiqué no tomen el valor cero (Ver aquí) (recordemos que por cero no se puede dividir, y al simplificar estamos dividiendo). Y algunos profesores pueden pedir que lo aclaremos. En este ejercicio simplifiqué solamente el polinomio (x - 2), entonces hago lo siguiente:

x - 2 = 0

x = 0 + 2

x = 2

Eso significa que el polinomio que simplifiqué (x - 2), toma el valor cero cuando x = 2. Porque (2 - 2) = 0 (no entiendo esto). Entonces, la simplificación vale solamente para todo x desigual a 2.

Podemos llamarle a esto "condición para simplificar".

¿Por qué "desaparecen" los polinomios que "taché"?

En la parte de Conceptos Generales expliqué cómo se simplica una fracción con polinomios, comparándolo con la simplificación en fracciones numéricas (Ver aquí). En un ejemplo numérico, al simplificar "tachando" un par de números iguales (uno de arriba con uno de abajo), en realidad lo que estamos haciendo es "dividir cada número por sí mismo". Por ejemplo, en:

Al tachar el 2 de arriba y el 2 de abajo, en realidad estoy dividiendo a cada 2 por 2. Porque así se simplifica cualquier fracción numérica: se divide al numerador y al denominador por el mismo número (¿y por qué se simplifican así? ¿pero es eso realmente lo que estoy haciendo acá?). Pero cuando se divide a un número por sí mismo, el resultado es 1. Dos dividido dos es igual uno. Es decir que en realidad, cuando "tacho", podría poner un 1 en el lugar del 2, porque es el resultado de la división que estoy haciendo para simplificarlo. Quedaría así:

1

= =

1

Seguramente lo habrán hecho o visto así alguna vez. Al quedar un 1, lo que no se tachó queda multiplicado por 1. Pero multiplicar por 1 es lo mismo que no multiplicar por nada, porque el resultado no cambia (el 1 es el "neutro" de la multiplicación). Por eso, es lo mismo poner el 1 que no ponerlo. Y si no pongo el 1, están "desapareciendo" los números que taché, y quedando sólo los que no taché. Es decir: Desaparecen los dos números iguales que tacho, porque en lugar de esos números quedaría un 1 multiplicando. Y lo que sea, multiplicado por 1, sigue siendo "lo mismo". Entonces puedo no poner los 1, y donde estaban los números que taché no queda nada (NOTA: si no luego de tachar no queda nada en el numerador, el 1 hay que ponerlo. Ver EJEMPLO 3).

Lo mismo pasa con los polinomios. En la fracción:

El tachar al (x - 2) de arriba con el (x - 2) de abajo, lo que estoy haciendo en realidad es dividir por (x - 2) en el numerador y en el denominador. Como dividir un polinomio por sí mismo dá como resultado el número 1 (tal como en la división de números enteros), al tachar a los (x - 2) en realidad me estaría quedando un 1 en sus lugares. Así:

1

...