Combinaciones Y Permutaciones

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO

FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLAN

MATERIA: ALGEBRA

ÍNDICE

Combinación……………………………………………………………..1

Combinación sin repetición……………………………………………..3

Combinación con repetición…………………………………………… 5

Números combinatorios……………………………………………..….. 7

Combinaciones

Una r-combinación de elementos de un conjunto es una selección no ordenada de r elementos del conjunto, es decir, es un subconjunto del conjunto con r-elementos. nCr es el número de r-combinaciones de un conjunto de n elementos.

Como ya se mencionó anteriormente, una combinación, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos.

La fórmula para determinar el número de combinaciones es:

La expresión anterior nos explica como las combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos pueden ser obtenidas a partir de las permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos, esto se debe a que como en las combinaciones no nos importa el orden de los objetos, entonces si tenemos las permutaciones de esos objetos al dividirlas entre r!, les estamos quitando el orden y por tanto transformándolas en combinaciones, de otra forma, también si deseamos calcular permutaciones y tenemos las combinaciones, simplemente con multiplicar estas por el r! obtendremos las permutaciones requeridas.

1) En un plano hay 10 puntos denominados A, B, C, ....,etc. etc., en una misma línea no hay más de dos puntos, a. ¿Cuántas líneas pueden ser trazadas a partir de los puntos?, b. ¿Cuántas de las líneas no pasan por los puntos A o B?, c. ¿Cuántos triángulos pueden ser trazados a partir de los puntos?, d. ¿Cuántos de los triángulos contienen el punto A?, e. ¿Cuántos de los triángulos tienen el lado AB?.

Solución:

a. En la redacción del problema se aclara que en una misma línea no hay más de dos puntos debido a que si lo anterior ocurriera no se podría dar contestación a las preguntas que se hacen.

Una línea puede ser trazada a partir de cómo mínimo dos puntos por lo tanto,

10C2 = 10! / (10 – 2)!2! = 10! / 8!2! = 45 líneas que se pueden trazar

1

b. En este caso excluiremos los puntos A y B y a partir de los ocho puntos restantes se obtendrán las líneas.

2C0*8C2 = 1 x 28 = 28 líneas que no pasan por los puntos A o B

c. Un triángulo puede ser trazado a partir de tres puntos, luego;

10C3 = 10! / (10 – 3)!3! = 10! / 7!3! = 120 triángulos posibles de trazar

d. En este caso se separa el punto A de los demás, se selecciona y posteriormente también se seleccionan dos puntos más.

1C1*9C2 = 1 x 36 = 36 triángulos que contienen el punto A

e. Los puntos A y B forman parte de los triángulos a trazar por lo que;

2C2*8C1 = 1 X 8 = 8 triángulos que contienen el lado AB

Ejercicios

1.-Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del Tec, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos?

Solución: a. n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 – 5 )!5! = 14! / 9!5!

= 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!

= 2002 grupos

2.- Una señora desea invitar a cenar a 5 de 11 amigos que tiene, a. ¿Cuántas maneras tiene de invitarlos?

3.- En un plano hay 10 puntos denominados A, B, C, ….,etc. etc., en una misma línea no hay más de dos puntos, a. ¿Cuántas líneas pueden ser trazadas a partir de los puntos?

2

Combinaciones sin repetición

3

Ejemplo (Combinaciones SIN repetición) :

Cuantos grupos de 5 alumnos pueden formarse con los treinta alumnos de una clase. (Un grupo es distinto de otro si se diferencia de otro por lo menos en un alumno)

No importa el orden (son grupos de alumnos). No puede haber dos alumnos iguales en un grupo evidentemente, luego sin repetición.

Por tanto, se pueden formar 142506 grupos distintos:

...