PERMUTACIONES & COMBINACIONES Matematicas

Grado 11

Taller # 12

Nivel II

RESEÑA HISTORICA

La presencia del hueso astrágalo de oveja o ciervo en las excavaciones arqueológicas más

antiguas, parece confirmar que los juegos de azar tienen una antigüedad de más de 4000 años, y

la utilización del astrágalo en culturas más recientes, ha sido ampliamente documentada. Existen

en las pirámides de Egipto pinturas que muestran juegos de azar que datan del año 3500 a. C. y

Heròdoto se refiere a la popularidad y difusión en su época de los juegos de azar, especialmente

la tirada de astrágalos y dados. Los dados más antiguos se remontan a unos 3000 años antes de

Cristo y se utilizaron en el juego como en ceremonias religiosas.

Las civilizaciones antiguas, explicaban el azar mediante la voluntad divina. En Grecia y Roma,

utilizaban la configuración resultante de tirar cuatro dados para predecir el futuro y revelar la

voluntad favorable o desfavorable de los dioses. Prácticas similares se han encontrado en

culturas tan distintas como la tibetana, la india o la judía. Piaget ha hecho notar que esta actitud

mágica ante el azar se manifiesta igualmente en los niños.

En el Renacimiento aparece un nuevo enfoque global de considerar al mundo, induciendo una

observación cualitativamente distinta de muchos fenómenos naturales. El abandono progresivo

de explicaciones teológicas conduce a una reconsideración de los experimentos aleatorios; y los

matemáticos italianos del siglo XVI, comienzan a interpretar los resultados de experimentos

aleatorios simples. Cardano, establece la equiprobabilidad de aparición de las caras de un dado a

largo plazo. A finales del siglo XVI, existía un intuitivo pero preciso análisis empírico de los

resultados aleatorios.

El desarrollo del análisis matemático de los juegos de azar se produce lentamente durante los

siglos XVI y XVII, y algunos autores consideran como origen del cálculo de probabilidades la

resolución del problema de los puntos en la correspondencia entre Pascal y Fermat en 1654. El

cálculo de probabilidades se consolida como disciplina independiente en el período que

transcurre desde la segunda mitad del siglo XVII hasta comienzos del siglo XVIII.

MARCO TEORICO Y EJEMPLOS:

COMBINACIÓN:

Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de

los elementos que constituyen dicho arreglo.

PERMUTACIÓN (VARIACIÓN):

Es todo arreglo de elementos en donde si nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de

los elementos que constituyen dicho arreglo.

Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinación y una permutación,

plantearemos la siguiente situación:

Suponga que un salón de clase está constituido por 35 alumnos.

a) El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula

limpia o entregar material a los alumnos cuando así sea necesario.

b) El maestro desea que se nombre a los representantes del salón (Presidente, Secretario y

Tesorero).

Solución:

a) Suponga que por unanimidad se ha elegido a Daniel, Arturo y a Rafael para limpiar el

aula o entregar material, (aunque pudieron haberse seleccionado a Rafael, Daniel y a

Enrique, o pudo haberse formado cualquier grupo de tres personas para realizar las

actividades mencionadas anteriormente).

¿Es importante el orden como se selecciona a los elementos que forma el grupo de tres

personas?

Reflexionando al respecto nos damos cuenta de que el orden en este caso no tiene

importancia, ya que lo único que nos interesaría es el contenido de cada grupo, dicho de otra

forma, ¿quiénes están en el grupo? Por tanto, este ejemplo es una combinación, quiere decir

esto que las combinaciones nos permiten formar grupos o muestras de elementos en donde lo

único que nos interesa es el contenido de los mismos.

b) Suponga que se han nombrado como representantes del salón a Daniel como Presidente, a

Arturo como secretario y a Rafael como tesorero, pero resulta que a alguien se le ocurre

hacer algunos cambios, como los que se muestran a continuación:

CAMBIOS

PRESIDENTE: Daniel Arturo Rafael Daniel Arturo Rafael

SECRETARIO: Arturo Daniel Daniel Rafael Rafael Arturo

TESORERO: Rafael Rafael Arturo Arturo Daniel Daniel

Ahora tenemos cuatro arreglos, ¿se tratará de la misma representación?

Creo que la respuesta sería no, ya que el cambio de función que se hace a los integrantes de

la representación original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje

de manera diferente, ¿importa el orden de los elementos en los arreglos?. La respuesta

definitivamente sería sí, luego las representaciones antes definidas son diferentes ya que el

orden o la forma en que se asignan las funciones sí importa, por lo tanto es este caso estamos

tratando con permutaciones.

A continuación obtendremos las fórmulas de permutaciones y de combinaciones, pero antes

debemos definir lo que es n! (se lee ene factorial), ya que está involucrado en las fórmulas que

se obtendrán y utilizaràn para la resolución de problemas.

n! = al producto desde la unidad hasta el valor que ostenta n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x...........x n

Ejemplo.

10! =1 x 2 x 3 x 4 x.........x 10=3,628,800

8! = 1 x 2 x 3 x 4 x.........x 8=40,320

6!=1 x 2 x 3 x 4 x..........x 6=720, etc., etc.

Obtención de la fórmula para permutaciones.

Para hacer esto, partiremos de un ejemplo.

¿Cuántas maneras hay para asignar los cuatro primeros lugares de un concurso de creatividad

que se verifica en las instalaciones de un instituto, si hay 14 participantes?

Solución:

Haciendo uso del principio multiplicativo,

14x13x12x11 = 24,024 maneras de asignar los primeros cuatro lugares del concurso.

Esta solución se debe, a que al momento de asignar el primer lugar tenemos a 14 posibles

candidatos, una vez asignado ese lugar nos quedan 13 posibles candidatos para el segundo

lugar, luego tendríamos 12 candidatos posibles para el tercer lugar y por último tendríamos

11 candidatos posibles para el cuarto lugar.

Luego si n es el total de participantes en el concurso y r es el número de participantes que

van a ser premiados, partiendo de la expresión anterior, entonces:

14x13x12x11= n x (n - 1) x (n - 2) x .......... x (n – r + 1)

si la expresión anterior es multiplicada por (n – r)! / (n – r)!, entonces:

= n x (n –1 ) x (n – 2) x ......... x (n – r + 1) (n – r)! / (n – r)!

= n!/ (n – r)!

Por tanto, la fórmula de permutaciones para r objetos tomados de entre n objetos es:

( n r )!

!n

n Pr

−

=

Esta fórmula nos permitirá obtener todos aquellos arreglos en donde el orden es importante y

donde solo se usan parte de los n objetos con que se cuenta, además hay que hacer notar que no

se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes.

Entonces, ¿qué fórmula hay que usar para arreglos en donde se utilicen los n objetos con que se

cuenta?

Si en la fórmula anterior se sustituye n en lugar de r, entonces.

nPn= n!/ (n –n)! = n! / 0! = n! / 1 = n!

Como 0! = 1 de acuerdo a demostración matemática, entonces

nPn= n!

Ejemplos:

1) ¿Cuantas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de

Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación

puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa.

Solución:

Por principio multiplicativo:

25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 6,375,600 maneras de formar una representación de ese sindicato

que conste de presidente, secretario, etc., etc.

Por Fórmula:

n = 25, r = 5

25P5 = 25!/ (25 –5)! = 25! / 20! = (25 x 24 x 23 x 22 x 21 x....x 1) / (20 x 19 x 18 x ... x 1)=

= 6,375,600 maneras de formar la representación

2) a. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que

participan en una carrera de fórmula uno? (Considere que las posiciones de salida de los

autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar) b. ¿Cuántas maneras

diferentes hay de asignar los primeros tres premios de esta carrera de fórmula uno?

Solución:

a. Por principio multiplicativo:

8 x 7 x 6 x 5 x 4 x

...