Como son hace ejercicios de Calculo II

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  I. FUNCIONES.

OBJETIVO.

El alumno enunciará y empleará el concepto de función para describir problemas reales.

1. FUNCIONES.

El término matemático de función  (o su equivalente latino), data desde finales del siglo XVII, cuando el cálculo estaba en sus primeras etapas de desarrollo.

Los méritos principales en esta rama, corresponden a Bernard Bolzano quién en 1817, formuló y demostró el Teorema que afirma que si una función es contínua en un intervalo cerrado y acotado y en los extremos del mismo ésta toma valores con signos opuestos, entonces existe al menos una raíz de la función en el interior del intervalo. También estudió el criterio de convergencia de sucesiones y dio una definición rigurosa de continuidad de funciones así como sus propiedades para formular una serie de notables teoremas. Este importante concepto, es ahora la espina dorsal de cursos avanzados de Matemáticas y es indispensable en todos los campos de las ciencias.

Las funciones representan reglas matemáticas donde se le asigna a cada objeto de un conjunto “A” uno y solo un objeto de un conjunto “B”, siendo los conjuntos “A” y “B”, grupos de números reales.

El lenguaje de las matemáticas tiene una manera de describir la relación funcional existente entre las variables “x” y “y” de la ecuación [pic 2] esta ecuación se traduce verbalmente como “y” es una función de “x”.

En el mundo que nos rodea existe un número incontable de relaciones funcionales, como por ejemplo, las calificaciones dependerán del tiempo que dedique el alumno al estudio; las tarifas de los impuestos urbanos dependerá del nivel de gastos municipales; la cantidad vendida de un producto dependerá de su precio y los precios de las marcas de la competencia, etc.

1.1. CONCEPTO DE FUNCIONES.

Definición de función.

Es una transformación que asocia a cada número perteneciente a algún subconjunto de los números reales otro número real (uno sólo); es decir, dado un conjunto A y conjunto B, asocia a cada uno de los elementos de A un elemento de B, lo cual se representa de la forma:

[pic 3]

[pic 4]

Cuando la correspondencia de los conjuntos es de la siguiente forma, entonces no puede considerarse función.

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por lo tanto, [pic 6]no es función.

Existen diferentes formas para representar una función:

1. Verbal
2. Algebraica
3. Por Tablas
4. Mediante Gráficas

Ejemplo 1:

Forma verbal. La función es igual a dos veces un número menos veinticinco.

Forma algebraica:  [pic 7]

Forma de tabla:

Forma gráfica:

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Ejemplo 2:

Forma verbal: La función de “x” es igual a los tres cuartos de un número más cinco.

Forma algebraica:  [pic 9]

Forma de tabla:

Forma gráfica:

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Ejemplo 3:

Forma verbal: La función de “m” es igual a un número más sesenta entre dos.

Forma algebraica:  [pic 11]

Forma de tabla:

Forma gráfica:

[pic 12]

Ejemplo 4:

Forma verbal: La función de “g” es igual a un cuarto de un número de “g” menos tres.

Forma algebraica:  [pic 13]

Forma de tabla:

Forma gráfica:

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Ejemplo 5:

Forma verbal: La función de “x” es igual a cinco veces un número más ocho.

Forma algebraica:  [pic 15]

Forma de tabla:

Forma gráfica:

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A partir de una función, se pueden determinar los valores que la describen, es decir, los valores para la cual la función existe.

Por ejemplo:

1. Dada la función [pic 17], encontrar los siguientes valores:

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

2. Dada la función [pic 22], encontrar los siguientes valores:

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[pic 25]

[pic 26]

3. Dada la función [pic 27], encontrar los siguientes valores:

[pic 28]

[pic 29]

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4. Dada la función [pic 31], encontrar los siguientes valores:

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

5. Dada la función [pic 35], encontrar los siguientes valores:

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

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DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

El dominio (D) de una función es el conjunto de existencia de la misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida.

Entonces, el dominio de una función f es el conjunto de todos los objetos que pueden sustituirse en la variable independiente.

Conjunto imagen, también llamado recorrido o rango, está formado por los valores que alcanza la función. Entonces, la imagen de una función f es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente.

Ejemplos:

a)        Dada la función [pic 40]

Por simple observación, podemos determinar que el dominio e imagen de la función, es el conjunto de los números reales (R).

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