De Que Trata El Calculo

CAPÍTULO I

¿Que debes saber para aprender cálculo?

En matemáticas, suceden una y otra vez cosas sorprendentes. Alguien plantea una pregunta sencilla, tan sencilla que tal parece que no se puede obtener ningún resultado útil al responderla. Y sin embargo, sucede que Ia respuesta abre la puerta a toda clase de desarrollos interesantes y da mucho poder a Ia persona que Ia comprende.

El cálculo es un ejemplo de esto. El cálculo empieza con una pregunta aparentemente sencilla e inofensiva, "¿Que es Ia velocidad y cómo podemos calcularla?". Esta pregunta surgió de manera natural alrededor del año 1600 de N.E, cuando se estudiaba todo tipo de objetos en movimiento, desde planetas hasta péndulos. El hombre estaba apenas empezando a estudiar intensamente el mundo material. A partir de este estudio se ha desarrollado el mundo moderno, con el conocimiento de estrellas y átomos, de maquinas y genes, lo que hoy tenemos, para bien o para mal. Uno esperaría que el estudio de la velocidad tuviera aplicaciones muy limitadas, a maquinaría, a caída de objetos, al movimiento de cuerpos celestes. Pero no ha sido así. Prácticamente, cada desarrollo en ciencias y en matemáticas de 1600 a 1900 de N.E. estaba conectado con el cálculo. De esta única raíz, en forma totalmente inesperada, creció el conocimiento en todas direcciones. Se encuentra el cálculo aplicado a Ia teoría de la gravitación, calor, luz, sonido, electricidad, magnetismo; al fluir del agua y al diseño de aviones. El cálculo permitió a Maxwell predecir Ia radio veinte años antes de que cualquier físico pudiera demostrarla experimentalmente; el cálculo aun juega un papel vital en Ia teoría de Einstein de 1916 y en las nuevas teorías atómicas de los años veinte. Aparte de éstas y muchas otras aplicaciones en Ia ciencia, el cálculo estimula Ia aparición de nuevas e interesantes ramas de Ia matemática pura. En el presente siglo, solo unas cuantas ramas que no usan el cálculo se han desarrollado en las matemáticas. Y aún estas se hayan mezcladas con temas relacionados con el cálculo. Alguien que estudiara estas ramas sin antecedentes de cálculo, estaría en terrible desventaja; encontraría alusiones al cálculo; existirían resultados sugeridos por teoremas del cálculo. Ninguna persona que intente estudiar seriamente las matemáticas puede dejar fuera el cálculo.

El cálculo es entonces un tópico indispensable tanto para el matemático aplicado como para el puro*. Y el cálculo surge a partir de una idea muy sencilla, la idea de velocidad.

*Un matemático puro es aquel que estudia las matemáticas por sí mismo. Un matemático aplicado es aquel que estudia las matemáticas con objeto de tratar con algún aspecto del mundo real, ciencia, ingeniería, medicina, economía, historia, etc. La mayoría de los grandes matemáticos del pasado se interesan tanto en matemáticas puras como en aplicadas y lo mismo ocurre de los mejores matemáticos de hoy en día.

En el pasado, Ia gente pensaba a menudo que el cálculo era una materia extremadamente difícil. Entonces, especialmente en Inglaterra, los maestros imaginaron que con el cálculo podrían hacerse muchas cosas en una forma más sencilla y más interesante que lo que se podría hacer con el álgebra. En las preparatorias inglesas puede Ilevar dos y hasta 3 años de cálculo. Pero luego algunos matemáticos dicen que esto no es bueno; que el cálculo es realmente más complicado de lo que parece y que debe ser enseñado únicamente por un matemático muy calificado. ¿Cuál es Ia verdad de entre todos estos puntos de vista encontrados?

Una comparación podría sernos útil. Una anciana vive en un pueblo tranquilo y cada domingo maneja hasta Ia iglesia. Le preguntamos si es fácil manejar un auto. "oh, sí", dice, "no tengo aptitudes mecánicas y lo encuentro muy sencillo". Ella lo encontraría menos sencillo si tuviera que manejar en el centro de Nueva York o trasladar un pesado camión a través de las rocallosas. Pero esto no niega el hecho de que ella pueda manejar un auto. Y si alguna vez tuviera que manejar en medio de un tráfico pesado, su experiencia seria de utilidad para ella. No estaría tan desamparada como alguien que nunca hubiera manejado.

Con el cálculo ocurre una situación parecida. El cálculo elemental es como el manejo elemental de autos; es fácil de aprender y permite hacer muchas cosas que de otra manera seria imposible. Pero si se desea Ilevar el cálculo tan lejos como sea posible, se Ilegará hasta regiones que son más complicadas.

¿Entonces como debe enseñarse el cálculo? ¿Debemos molestar al principiante con advertencias que son importantes sólo en trabajos más avanzados? Si lo hacemos, el principiante se encontrará confundido al no ver Ia necesidad de estas advertencias. Si no lo hacemos, los matemáticos nos denunciaran por decepcionar a los jóvenes.

Yo creo que el enfoque correcto es hacer cada cosa a su tiempo. Si se Ileva a un principiante a manejar un auto por primera vez a una calle tranquila, tendrá suficiente con aprender cuál es el freno y cuál el acelerador, como conducir y como estacionarse. No vamos a discutir con él como manejar con un tráfico pesado que aun no encuentra, ni lo que haría si fuera invierno y el camino estuviera cubierto de hielo. Pero podría prevenírsele de Ia existencia de tales condiciones, de manera que no sobreestime lo que ya sabe.

Si tratamos de decirle toda Ia verdad, probablemente no Ia podrá asimilar en el momento. Otra importante objeción es que aun no sabemos toda Ia verdad. Nuestro alumno es joven. Quizá el vivirá para manejar un auto en la primera expedición a Marte. ¿Y quién sabe cuáles serán las técnicas de manejo necesarias en Marte?

La matemática es también una exploración. Mientras más nos introducimos en ella, encontramos situaciones nuevas e inesperadas y tenemos que repasar nuestras ideas. Las reglas que hemos usado y los teoremas que hemos aprobado resultan con debilidades imprevistas. Si me pidieran que escribiera en una hoja de papel todas las proposiciones de las cuales estoy completamente seguro, proposiciones que fueran ciertas en todo momento y lugar, dejaría la hoja en blanco.

En este libro empiezo con las ideas sencillas del cálculo, o sea, manejando en el campo. Paso por alto las molestas excepciones. Preferentemente veo las cosas como los matemáticos lo hicieron en el siglo XVII cuando el cálculo se estaba desarrollando. He encontrado que los estudiantes de noveno y décimo grado, que están interesados en las matemáticas, pueden seguir sin dificultad este tratamiento del cálculo. Hacia el final del libro, en el capitulo "Intuición y Lógica", doy algunos ejemplos para mostrar lo que sucede cuando uno se aproxima al tránsito pesado de las grandes ciudades. Esto tiene por objeto advertir acerca de las complejidades que pueden surgir. Pero no debemos pensar que esas complejidades son simplemente dificultades. No lo son de ninguna manera. Algunas de las complicaciones son extrañas, inesperadas e interesantes.

Ahora vayamos a la cuestión de lo que es necesario saber para leer este libro; se requieren las siguientes tres cosas:

(1) ARITMÉTICA BÁSICA: es necesario saber sumar, restar, multiplicar y dividir números enteros, fracciones y decimales. No es necesario para nada el conocimiento de Ia aritmética financiera, porcentajes, descuentos, etc. Deben conocerse ya los exponentes y saber, por ejemplo, que 45 es la abreviación de 4 x4x4x4x4.

(2) ÁLGEBRA BÁSICA: debe conocerse el uso de símbolos tales como "X" "Y" y ser capaz de sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones algebraicas simples. También es necesario poder sustituir en una formula, por ejemplo, poner 3 en lugar de x en x2 — 1 y obtener de respuesta 8. También deben ser ya conocidos los números negativos tales como -5.

(3) GRÁFICAS: debe saberse Ia manera de dibujar una gráfica. Tú ya debes haber dibujado varias gráficas y recordarás algo de su apariencia; por ejemplo, las graficas de Y= X y Y= 2X + 1 son líneas rectas, mientras que las de y= x2 y y= no lo son.

Es particularmente importante que no hayas aprendido el álgebra como un simple conjunto de reglas; si no que tengas un conocimiento de lo que es el álgebra, como surge de la aritmética y como se utiliza para decir cosas acerca de aritmética. Unos cuantos ejemplos mostrarán lo que esto significa.

Por ejemplo, las siguientes afirmaciones pertenecen a la aritmética:

32 es una unidad mayor que 2x4

42 es una unidad mayor que 3x5

52 es una unidad mayor que 4x6

62 es una unidad mayor que 5x7

Todos estos resultados sugieren que "el cuadrado de todo numero entero es una unidad mayor de lo que resulta de multiplicar el anterior a ese número por el posterior al dicho número". Por ejemplo, podemos esperar que 872 sea una unidad mayor que 86 x 88. Si "n" es la abreviatura de "cualquier número", entonces "el número anterior" seria escrito como n - 1 y el "número posterior como n + 1. En lugar de la frase de arriba, ahora "n2 "es una unidad mayor que:

(n — 1)(n + 1)

0, ya completamente en símbolos:

n2= 1 + (n — 1)( n + 1)

Esta ecuación, válida para todo numero "n", expresa lo que hemos supuesto al estudiar un resultado particular de la aritmética. Además, nos permite probar que nuestra suposición es correcta. Por los métodos usuales del álgebra podemos multiplicar y ver que los dos lados siempre son

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