DEFINICION DE VARIABLES ALEATORIA

1-DEFINICION DE VARIABLES ALEATORIA

Formalmente, una variable aleatoria es una función, que asigna eventos (p.e., los posibles resultados de tirar un dado dos veces: (1, 1), (1, 2), etc.) a números reales (p.e., su suma). Una variable aleatoria o variable estocástica es una variable estadística cuyos valores se obtienen de mediciones en experimento aleatorio.

Es decir una regla que asocia un número a cada resultado del espacio muestra.

Los valores posibles de una variable aleatoria pueden representar los posibles resultados de un experimento aún no realizado, o los posibles valores de una cantidad cuyo valor actualmente existente es incierto (p.e., como resultado de medición incompleta o imprecisa). Intuitivamente, una variable aleatoria puede tomarse como una cantidad cuyo valor no es fijo pero puede tomar diferentes valores; una distribución de probabilidad se usa para describir la probabilidad de que se den los diferentes valores.

Ejemplo: Se lanzan dos monedas

x = 0 1 2

Si X = Número de caras obtenidas

Notación: X = Variable Aleatoria. x = Sus valores

Ejercicio 1#

Una caja contiene 7 discos, 4 rojos y 3 negros. Se sacan dos discos sin reemplazo.

a. Listar los elementos del espacio muestra y calcular sus probabilidades.

b. Sea X = Número de discos rojos obtenidos en el experimento. ¿Cuáles son los valores x que puede tomar la variable aleatoria X?

R: b) x 0 1 2

f(x) 1/7 4/7 2/7

Ejercicio 2#

Lanzamiento de 2 moneda

s X(s) ≡Número de CARAS

s X (s)

CC→ 2

CX → 1

XC → 1

XX → 0

2-DEINICION DE V.A DISCRETA

Cuando los valores que toma una variable aleatoria son finitos o infinitos numerables se dice que es discreta.

Generalmente, este tipo de variables van asociadas a experimentos en los cuales se cuenta el número de veces que se ha presentado un suceso o donde el resultado es una puntuación concreta.

Toda variable aleatoria discreta tiene asociada una función de probabilidad , que a cada valor le marca la probabilidad de que la variable tome dicho valor . esta probabilidad viene a jugar el mismo papel que la frecuencia relativa en los temas de estadística.

Ejercicio 1#

• Se tira un dado dos veces y se observa X = el n˙mero de veces que sale as

Cojunto de valores:

vX = { 0; 1; 2}

Utilizaremos la siguiente notaciÛn: (X = a) es un evento de , que est• formado por todos los resultados para los que la variable X toma el valor a.

(X = 0) = ( 2; 2); (2; 3); … ; (2; 6);

(3; 2); (3; 3); … ; (3; 6);

…

(6; 2); (6; 3); …; (6; 6)

(X = 1) = (1; 2); (1; 3); (1; 4); (1; 5); (1; 6);

(2; 1); (3; 1); (4; 1); (5; 1); (6; 1)

(X = 3) = f{1; 1}

-Si el espacio es equiprobale, es fácil ver que:

P(X = 0) = 25=36

P(X = 1) = 10=36

P(X = 2) = 1=36

Ejercicio 2#

Sea X la variable aleatoria “nº de caras obtenidas al lanzar una moneda tres veces”.

Obtén la función de distribución de X.

El espacio muestral del experimento de lanzar la moneda tres veces es el siguiente:

Ω = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX}

Donde:

C: Cara.

X: Cruz.

El espacio muestral contiene 8 elementos, la probabilidad de salir cualquiera de ellos es la misma, por lo tanto de 1/8.

La variable aleatoria definida por el enunciado, X, “nº de caras obtenidas al lanzar una moneda tres veces”, hallamos su función de probabilidad:

No obtener ninguna cara, X = 0: Sólo existe una posibilidad entre todos los elementos del espacio muestral de al lanzar la moneda tres veces, no obtener cara ninguna vez. Por lo tanto, su probabilidad es:

P(X = 0) = 1/8

Obtener una cara, X = 1: Existen tres posibilidades entre todos los elementos del espacio muestral de al lanzar la moneda tres veces, obtener una cara. Por lo tanto, su probabilidad es:

P(X = 1) = 3/8

Obtener dos caras, X = 2: Existen tres posibilidades entre todos los elementos del espacio muestral de al lanzar la moneda tres veces, obtener dos cara. Por lo tanto, su probabilidad es:

P(X = 2) = 3/8

Obtener tres caras, X = 3: Sólo existe una posibilidad entre todos los elementos del espacio muestral de al lanzar la moneda tres veces, obtener tres caras. Por lo tanto, su probabilidad es:

P(X = 3) = 1/8

Una vez obtenida la función de probabilidades para cada caso, pasamos a resolver el problema hallando su función de distribución (o función de probabilidad acumulada):

No obtener ninguna cara, F(0) = P(X ≤ 0) = 1/8

Obtener una cara, F(1) = P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 1/8 + 3/8 = 4/8

Obtener

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