Desigualdades

Concepto de Desigualdades

Son proposiciones simbólicas en la que se indica que un miembro no es igual a otro miembro de la desigual.

Signos de la Desigualdad

Los signos de la desigualdad, se llaman signos de relación son los siguientes:

< que se lee menor que, > que se lee mayor que, y ≤ menor o igual que, ≥ que se lee mayor que. Se llama primer miembro de una desigualdad a la expresión que está a la izquierda y segundo miembro a la que está a la derecha del signo de desigualdad.

Así, en a + b > c – d el primer miembro es a + b y el segundo c – d.

Términos de la Desigualdad

Son las cantidades que están separadas de otras por el signo + o – o la cantidad que está sola en un miembro. En la desigualdad anterior los términos son a, b, c y - d.

Dos desigualdades son del mismo signo o subsisten en el mismo sentido cuando sus primeros miembros son mayores o menores, ambos, que los segundos.

Así, a > b y c > d son desigualdades del mismo sentido.

Dos desigualdades son de signo contrario o no subsisten en el mismo sentido cuando sus primeros miembros no son ambos mayores o menores que los segundos miembros. Así, 5 > 3 y 1 < 2 son desigualdades de sentido

Propiedades de las desigualdades

1) Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no varía.

Así, dada la desigualdad a > b,

Podemos escribir:

|a + c > b + c y a - c > b - c |

Consecuencia:

Un término cualquiera de una desigualdad se puede pasar de un miembro a otro cambiándole el signo.

Así, en la desigualdad a > b + c podemos pasar c al primer miembro con signo - y quedara a - c > b , porque equivale a restar c a los dos miembros.

En la desigualdad a - b > c podemos pasar b con signo + al segundo miembro y quedara a > b + c , porque equivale a sumar b a los dos miembros.

2) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad positiva, el signo de la desigualdad no varía.

Así, dada la desigualdad a > b y siendo c una cantidad positiva, podemos escribir:

|ac > bc y a/ c > b/c |

Consecuencia

Se pueden suprimir denominadores en una desigualdad, sin que varíe el signo de la desigualdad, porque ello equivale a multiplicar todos los términos de la desigualdad, o sea sus dos miembros, por el m.c.m de los denominadores.

3) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad varia.

Así, si en la desigualdad a > b multiplicamos ambos miembros por – c, tendremos:

- ac < - bc y dividiéndolos por - c, o sea multiplicando por -1/c, tendremos: a/c < - b/c.

Consecuencia

Si se cambia el signo a todos los términos, o sea a los dos miembros de una desigualdad, el signo de la desigualdad varia porque equivale a multiplicar los dos miembros de la desigualdad por -1.

Así, si en la desigualdad a - b > - c cambiamos el signo a todos los términos, tendremos: b - a < c.

Desigualdades lineales de una variable

Se llaman desigualdades lineales de una variable, las desigualdades en que solamente aparece una incógnita, cuyo exponente es uno.

Las desigualdades lineales de una sola variable se resuelven de la manera siguiente:

Paso 1: |Haciendo uso de las propiedades 3) ,4) y 5) se trasladan a un solo lado de la desigualdad todos los términos donde aparece |

|la

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