Diagrama De Arbol

Diagrama de árbol en La Distribución Probabilística Discreta

¿Qué es una distribución de probabilidad?

Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento. Una distribución de probabilidad es similar a la distribución de frecuencias relativas .Si embargo, en vez de describir el pasado, describe la probabilidad que un evento se realice en el futuro,

es decir Muestra todos los resultados posibles de un experimento y la probabilidad de cada resultado.

Toda distribución de probabilidad es generada por una variable aleatoria x, la que puede ser de dos tipos:

1. Variable aleatoria discreta (x). Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores, aleatoria, porque el valor tomado es totalmente al azar y discreta porque solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos.

Ejemplos:

X Variable que nos define el número de productos defectuosos en un lote de 25 productos.

X 0, 1, 2, 3,....,25 productos defectuosos en el lote

X Variable que nos define el número de alumnos aprobados en la materia de probabilidad en un grupo de 40 alumnos.

X 0, 1, 2, 3, 4, 5,....,40 alumnos aprobados en probabilidad

Con los ejemplos anteriores nos damos cuenta claramente que los valores de la variable x siempre serán enteros, nunca fraccionarios.

2. Variable aleatoria continua (x). Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores, aleatoria, porque los valores que toma son totalmente al azar y continua porque puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos.

Ejemplos:

X Variable que nos define la longitud de un cable o circuito utilizado en un arnés de auto

X 20.5 cm, 20.1, 20.0, 19.8, 20,6, 20.0, 20.0

X Variable que nos define la concentración en gramos de plata de algunas muestras de mineral

X 14.8gramos, 12.0, 10.0, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21.0, 20.8

Como se observa en los ejemplos anteriores, una variable continua puede tomar cualquier valor, entero o fraccionario,

Las variables descritas anteriormente nos generan una distribución de probabilidad, las que pueden ser.

1) Distribución de probabilidad discreta.

2) Distribución de probabilidad continúa.

Las características de cada una de las distribuciones anteriores se mencionarán a continuación:

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA.

Características:

1. Es generada por una variable discreta (x).

X Variable que solo toma valores enteros

X 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... etc,etc.

2. p(xi) 0 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero.

3 p(xi) = 1 La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x debe ser igual a 1.

DIAGRAMA DE ARBOL

Un diagrama de árbol es una representación gráfica que muestra los resultados posibles de una serie de experimentos y sus respectivas probabilidades; consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final). Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.

Espacio Muestral.- es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento; se la representa con la letra S. cada elemento de este conjunto ( es decir cada resultado), se llama punto muestral.

Ejemplo: Supongamos que estamos interesados en el número posible de caras que pueden aparecer al lanzar tres monedas

C CCC 1/8

C S CCS 1/8

C C CSC 1/8

S S CSS 1/8

C SCC 1/8

S C S SCS 1/8

C SSC 1/8

S S SSS 1/8

Mi espacio muetral está conformado por ocho posibles formas de sacar cara o sello

S {CCC,CCS,CSC,CSS,SCC,SCS,SSC,SSS}

Ejemplos

Una universidad está formada por tres facultades:

• La 1ª con el 50% de estudiantes.

• La 2ª con el 25% de estudiantes.

• La 3ª con el 25% de estudiantes.

Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada facultad.

¿Probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?

P(alumna de la primera facultad)= (0.50*0.60)= 0.30

¿Probabilidad de encontrar un alumno varón?

P(alumno varón)=(0.5*0.40)+(0.25*0.40)+(0.25*0.40)= 0.40

Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:

Probabilidad de Seleccionar tres niños:

Seleccionar exactamente dos niños y una niña.

Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

Seleccionar tres niñas.

CALCULO DE MEDIA Y DESVIACIÓN ESTANDAR PARA UNA DISTRIBUCIÓN DISCRETA

Media o valor esperado de x.- Para determinar la media de la distribución discreta se utiliza la siguiente fórmula:

Donde:

U = media de la distribución

E(x) = valor esperado de x

xi = valores que toma la variable

p(xi) = probabilidad asociada a cada uno de los valores de la variable x

2. Desviación estándar. Para determinar la desviación estándar de la distribución discreta se utiliza la siguiente fórmula:

Donde:

 = desviación estándar

u = media o valor esperado de x

xi = valores que toma la variable x

p(xi) = probabilidad asociada a cada uno de los valores que toma x

ejemplos 1

Con los registros de la compañía de los últimos 500 días, el gerente de JyS Motors, un distribuidor del país de automóviles, elaboró un resumen del número de autos por día en la siguiente tabla:

# de autos vendidos por días frecuencia de ocurrencia

0 40

1 100

2 142

3 66

4 36

5 30

6 23

7 20

8 16

9 14

10 8

11 2

Obtenga la distribución de probabilidad para la variable aleatoria discreta número de automóviles vendidos por dia.

a.) Calcule la media o el número esperado de automóvil

es vendido por dia.

b.) Calcule la desviación estándar

c.) ¿Cuál es la probabilidad de que en dia dado:

Se vendan menos de cuatros automóviles.

Se venden por los menos un automóvil.

Esperanza Aritmética o

Valor Esperado

Varianza

# de autos vendidos por días (X) Número de dias (f) Probabilidad (PX) XP(X) [X-U]²P(X)

0 40 0,08 0 0,74713088

1 100 0,2 0,2 0,8454272

2 142 0,284 0,568 0,31669862

3 66 0,132 0,396 0,00041395

4 36 0,072 0,288 0,06416179

5 30 0,06 0,3 0,22674816

6 26 0,052 0,312 0,45069107

7 20 0,04 0,28 0,62220544

8 16 0,032 0,256 0,78218035

9 14 0,028 0,252 0,98927181

10 8 0,016 0,16 0,77150618

11 2 0,004 0,044 0,25242854

∑ 500 1 3,056

6,068864

Ejemplo 2

Se ha detectado en una línea de producción que 1 de cada 10 artículos fabricados es defectuoso; se toman de esa línea tres artículos uno tras otro, a) obtenga la distribución de probabilidad del experimento,

b) encuentre el número esperado de artículos defectuosos en esa muestra y su desviación estándar.

D = objeto defectuoso

N = objeto no defectuoso

Solución:

También haciendo uso de in diagrama de árbol, se obtiene el espacio muestral

D DDD

D N DDN

D D DND

N N DNN

D NDD

N D N NDN

D NND

N N NNN

S=DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN

x = Variable que nos define el número de objetos defectuosos encontrados

x = 0, 1, 2 o 3 objetos defectuosos

p(x=0)=p(NNN)=(0.9)(0.9(0.9)=0.729

p(x=1)=p(DNN, NDN, NND)=(0.1)(0.9)(0.9)+(0.9)(0.1)(0.9)+(0.9)(0.9)(0.1)=0.243

p(x=2)=p(DDN, DND, NDD)=(0.1)(0.1)(0.9)+(0.1)(0.9)(0.1)+(0.9)(0.1)(0.1)=0.027

p(x=3)=p(DDD)=(0.1)(0.1)(0.1)=0.001

a.- Distribución probabilística

x p(x) px(x) [X-U]²P(X)

0 0,729 0 0,06561

1 0,243 0,243 0,243

2 0,027 0,054 0,108

3 0,001 0,003 0,009

1 0,3

0,42561

b.- Valor esperado

(0)(0.729)+(1)(0.243)+(2)(0.027)+(3)(0.001)=

= 0.0 + 0.243 + 0.054 + 0.003 =

0.3 0 productos defectuosos

B,-Desviación estándar

= 0.6 = 1 producto defectuoso

Interpretación:

En este experimento se espera que ninguno de los productos inspeccionados sea defectuoso, pero los resultados de este experimento pueden variar en  1 producto defectuoso, por lo que al inspeccionar los 3 productos el numero de productos defectuosos puede variar desde –1 producto defectuoso, hasta 1 producto defectuoso, pero, ¿es posible obtener –1 producto defectuoso?, claro que esto no puede ocurrir, luego el número de productos defectuosos en el experimento variará de 0 a 1 producto defectuoso solamente.

Teorema de Bayes

En su forma algebraica más simple el teorema de Bayes se refiere al cálculo de la probabilidad condicional del evento A, dado que ha ocurrido B, su formula general es:

P(A/B) = P(A∩B)

P(B)

Ejemplo 1

La probabilidad de que Alicia estudie para su examen final de Estadística es 0,2 . Si estudia la probabilidad de que apruebe el examen es 0,8, en tanto que si no estudia la probabilidad es 0,5.

a) ¿Cuál es la probabilidad que Alicia apruebe estadística?.

b) Dado que Alicia aprobó su examen. ¿Cuál es la probabilidad de que haya estudiado?.

E ( Alicia estudia)

N (Alicia no estudia)

A (Alicia aprueba )

P(E) 0.2 P(N)0.8 P(E/A)= 0.8 P(A/N)= 0.5

A.- P(A∩E)+P(A∩N)

=P(A/E)*P(E)+P(A/N)*P(N)

= (0.8)(0.2)+(0.5)(0.8)

P(A) = 0.56

La probabilidad de que Alicia a pruebe estadística es del 0.56

B.- = P(E/A) = P(E∩A)

P(A)

= P(A∩E)

P(A)

= P(A/E)*P(E)

P(A)

= (0.8)(0.2)

0.56

= 0.29

La probabilidad de que Alicia haya estudiado dado que aprobó estadística es de 0.29

La interpretación más aceptada del teorema de Bayes, es que su estructura permite el cálculo de probabilidades después de haber sido realizado un experimento (probabilidades aposteriori), basándose en el conocimiento de la ocurrencia de ciertos eventos que dependan del evento estudiado, o sea, se parte de probabilidades conocidas antes de efectuar el experimento (probabilidades apriori), las cuales son afectadas por las probabilidades propias del experimento (las que aparecen durante la ocurrencia del evento).

Continuando con nuestro análisis sobre el teorema de Bayes, la probabilidad condicional de Ai dado B, para cualquier i, es:

Aplicando en el numerador la Regla de Multiplicación

P(Ai∩B) = P(Ai) P(B|Ai). y en el denominador del Teorema de Probabilidad Total P(B) = P(A1) P(B | A1) + P(A2) P(B | A2) + . . . + P(An) P(B | An), obtenemos la ecuación que representa al:

Ejemplo 2

El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

P(I/D)= P(I)*P(D/I)

P(I)*P(D/I)+P(E)*P(D)+P(O)*P(D)

Ejemplo 3

Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.

a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.

b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B.

c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?

Solución:

Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". La información del problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto.

a. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total,

P(D) = P(A) • P(D/A) + P(B) • P(D/B) + P(C) • P(D/C)

= 0.45 • 0.03 + 0.30 • 0.04 + 0.25 • 0.05 = 0.038

b. calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,

c. Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:

La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A

Permutaciones

Calcula las posibles agrupaciones que se pueden establecer con todos los elementos de un grupo, por lo tanto, lo que diferencia a cada subgrupo del resto es el orden de los elementos.

Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

son distintos modos de ordenar los elementos de un conjunto

Por ejemplo, Se tiene dos elementos: A, B, solo habrá dos modos de ordenar

= AB y BA

Calcular las posibles formas en que se pueden ordenar los número 1, 2 y 3.

Hay 6 posibles agrupaciones: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) y (3, 2, 1)

Si se tiene tres elementos: A, B, Y C. se puede ordenar de la siguiente manera

= ABC BAC CAB

ACB BCA CBA

La notación para permutaciones es P(n,r) que es la cantidad de permutaciones de “n” elementos si solamente se seleccionan “r”.

P(n,r) = n!

(n-r)!

n= total de objetos

r= total de objetos seleccionado

n! n factorial

Permutaciones de n elementos tomados r

Generalmente nos interesa el número de permutaciones de algún subgrupo de los n objetos y no todos.

Ejemplo 1.- Consideremos 4 objetos (A, B, C, y D) y solo queremos tomar dos objetos.

AB BA CA DA

AC BC CB DB X = 12

AD BD CD DC

Aplicando fórmula

P(n,r) = n!

(n-r)!

4!

(4-2)

4*3*2! = 12

2!

Ejemplo 2.- Betts Machine Shop, Inc, cuenta con ochos tornos, aunque solo hay tres espacios disponibles en el área de producción para las maquinas. ¿De cuantas maneras se puede distribuir las ochos maquinas en los tres espacios disponibles?

Solución:

Hay ocho posibilidades para el primer espacio disponible en el area de producción, siete para el segundo espacio, y seis para el tercer espacio. Por consiguiente:

(8)(7)(6)= 336

Aplicando la formula:

n= 8 maquinas

r= 3 espacios disponibles

nPr = n!

(n-r)!

= 8!

(8-3)!

= 8

5

nPr = (8)(7)(6)5! =

5!

Ejemplo 3.- Hay 12 aviones sirviendo la ruta Guayaquil Quito. ¿ De cuántas maneras se puede viajar tomando al regreso un avión distinto al de ida?

Ida x ret. = 132

P(12,2)= 12! 12 12*11*10! = 132

(12-2)! 10! 10!

Combinaciones

Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

Si se considera el problema general en que r objetos se eligen entre n de ellos, cuando el orden de selección carece de importancia, cada una de estas selecciones se denomina una combinación de r objetos entre ellos, y el numero de conbinaciones se denota por:

C(n,r) = n!

r!(n-r)!

por Ejemplo

determinar el numero de combinaciones de las cuatro letras (a, b, c, d ) tomadas tres:

Combinaciones Permutaciones

abc abc, acb, bac, bca, cab, cba

abd abd, adb, bad, bda, dab, dba

acd acd, adc, cad, cda, dac, dca,

bcd bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb

Ejemplo 1.- Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen. ¿Cuántas maneras de escoger tiene?

C(n,r) = n!

r!(n-r)!

C(10,8) = 10! = 10*9*8! = 45

8!(10-8)! 2!8!

¿Cuántas maneras si las 3 primeras son obligatorias?

C(7,5) = 7! = 7*6*5! = 21

5!(7-5)! 2!5!

Diferencia entre permutación y combinación

Permutación

Ejemplos

De cuantas maneras pueden quedar asignados los títulos de campeón y subcampeón

Para esto consideramos 4 equipos de futbol finalista del torneo nacional:

A B C D

AB BA CA DA x = 12

AC BC CB DB

AD BD CD DC

Entonces tenemos doce posibilidades.

Doce maneras distintas de quedar asignado el titulo de campeón y subcampeón.

Aplicando formula:

P(n,r) = n!

(n-r)!

P(4,2) 4!

(4-2)!

4*3*2! = 12 doce manera diferente de asignar

2! El titulo de campeón y subcampeón

Observamos entonces que en la permutación importa la posición de los elementos en el grupo, en este caso tenemos 4 equipos de futbol para asignarlos en dos posiciones: en la de campeón y subcampeón.

Combinación

Cuantos son los posibles partidos para definir los títulos de campeón y subcampeón.

Equipos A B C D

En las combinaciones tenemos:

AB AC AD BC CD BD

Tenemos 6 posibilidades

Aplicando formula:

C(n,r) = n!

r!(n-r)!

C(4,2) = 4!

2!(4-2)!

4!

2!*2!

4*3*2*1 = 6 es el número de los posibles partidos

2*1*2*1 para definir el título de campeón y sub

Campeón de ese torneo

En las combinación interesa es la presencia de los elementos en los grupos formados y no interesa la posición como si sucede en la en la permutaciones

En las permutaciones interesa la posición de los elementos en el grupo formado

Mientras que en la combinación interesa la presencia de los elementos en el grupo formado aquí nos interesa que los elementos estén presentes en ese grupo o subconjunto q se forma, mientras que en las permutaciones es importante la posición en la que se encuentra.

...