EL CONJUNTO DE NUMEROS ENTEROS Z

Índice

Introducción ……………………………………………………………………… 3

Desarrollo:

El conjunto de los números enteros Z………………………………………….. 4

Representación gráfica del conjunto Z…………………………………………. 5

Valor absoluto de los números enteros…………………………………………. 6

Propiedades de los números enteros………………………………………… 7 a la 11

Orden en z…………………………………………………………………………...11

Adición en Z, propiedades de la adición…………………………………………12

Sustracción en Z…………………………………………………………………… 13

Multiplicación en Z, propiedades de la multiplicación en Z…………………14 a la 17

División en Z……………………………………………………………………17 a la 20

Potenciación en Z, propiedades……………………………………………… 20 a la 25

Ecuaciones en Z……………………………………………………………….. 25

Inecuaciones en Z………………………………………………………………. 27

Conclusión……………………………………………………………………… 30

Introducción

Este trabajo está dedicado al estudio de los conjuntos de números enteros denominado por la letra Z y el cual comprende a los números naturales, he incluye a los números enteros negativos, estudiaremos la adición, la sustracción, multiplicación, división, sus propiedades y sus operaciones en relación con los conjuntos numéricos, las funciones, los limites y la continuidad de funciones, para ser usados tanto en la rama de la matemáticas como en otras disciplinas.

1-.EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS Z.

Para indicar si un objeto se encuentra a la derecha o a la izquierda de un punto de referencia, podemos indicar con un signo + si está hacia la derecha y con un signo - si se ubica hacia la izquierda. De esta forma obtenemos dos conjuntos:

- Conjunto de números positivos

- Conjunto de números negativos

El conjunto formado por los números positivos, los números negativos y el cero se llama conjunto de números enteros.

Por ejemplo:

En los números enteros diferenciamos:

Números enteros positivos: +1, +2, +3, +4, +5, +6...

Números enteros negativos: -1, -2, -3, -4, -5, -6...

El número cero: 0.

Todos forman el conjunto de los números enteros.

Este conjunto se designa por Z.

Z = {., -9, -8,., -2, -1, -0, 1, 2,., 8, 9,.}

Los números enteros con la adición y la multiplicación forman una estructura algebraica llamada anillo. Pueden ser considerados una extensión de los números naturales y un subconjunto de los números racionales (fracciones). Los números enteros son subconjunto de los números racionales o fracciones, puesto que cada número entero puede ser considerado como una fracción cuyo denominador es el número uno.

Los números enteros pueden ser sumados y/o restados, multiplicados y comparados. Si la división es exacta, también pueden dividirse dentro del mismo conjunto de los enteros. La razón principal para introducir los números negativos sobre los números naturales es la posibilidad de resolver ecuaciones del tipo:

a + x = b

para la incógnita x.

Matemáticamente, el conjunto de los números enteros con las operaciones de suma y multiplicación, constituye un anillo conmutativo y unitario. Por otro lado, donde es el orden usual sobre es un conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior: los enteros no tienen principio ni fin. El conjunto de los números enteros se representa mediante (el origen del uso de Z es el alemán Zhal 'número'o cantidad).

2-.REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS ENTEROS Z.

Los números enteros se pueden representar en una recta de la siguiente forma:

- Elige un punto cualquiera de la recta. Asígnale el valor 0.

- Elige otro punto cualquiera a la derecha del 0 y asígnale el valor 1. La distancia entre ambos puntos será la unidad de medida de longitud. Si marcas esa unidad de medida a la derecha del 1, el punto representado es el 2. Haciendo lo mismo a la derecha del 2, obtienes el 3. Y así sucesivamente representas todos los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.....

- Si marcas la unidad de medida a la izquierda del 0, obtienes los números negativos -1, -2, -3, -4, -5, -6,......

En fin, los números enteros se representan gráficamente en una recta:

Los números positivos se ubican a partir del punto 0 hacia la derecha.

Los números negativos se ubican a partir del punto 0 hacia la izquierda.

Si dos números son iguales, les corresponde el mismo punto en la recta numérica.

Si un número es menor a otro, el menor se ubica a la izquierda del mayor.

Si un número es mayor a otro, el mayor se ubica a la derecha del menor.

Cada número y su opuesto están a igual distancia del cero.

El conjunto de números enteros se designa con la letra Z. A partir de su representación gráfica se observa que:

El conjunto de números enteros no tiene ni primer ni último elemento.

Todo número entero tiene un antecesor y un sucesor.

Entre dos números enteros existe un número finito de números enteros, por lo que el conjunto es discreto.

3-.VALOR ABSOLUTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS.

El valor absoluto de un número entero a es su magnitud, prescindiendo del signo. Se escribe y se define del siguiente modo:

Observa la recta numérica:

Los números +3 y –3 se encuentran a la misma distancia del cero. Ocurre así porque los dos números están formados por el mismo número natural, el 3 , aunque con distinto signo. Al número 3 se le llama valor absoluto de +3 y –3, y se indica así:

|+3| = | -3 | = 3

Por tanto, el resultado siempre es un número positivo.

El Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo. Se indica poniendo el número entero entre barras.

4-.PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS.

Propiedades de clausura

Si existen tales que:

y, de esto,

De la clausura de la adición sobre se sigue, por definición, que

Se tiene que la adición sobre el conjunto de los números enteros verifica la propiedad

Para cualequiera

Lo mismo cumple la multiplicación sobre

Para cualequiera

Propiedades asociativas

Las propiedades asociativas de la adición y la multiplicación sobre se siguen fácilmente de las definiciones de estas operaciones. Estas propiedades son:

Para cualquiera

Y

Para cualquiera

Propiedades conmutativas

Puesto que [(m,n)]+[(p,q)]=[(m+p\ ,\ n+q)]=[(p+m\ ,\ q+n)]=[(p,q)]+[(m,n)] para cualquiera tenemos que

Para cualquiera

Esta es la propiedad conmutativa de la adición sobre Esta propiedad la tiene también la multiplicación:

Para cualquiera

Propiedad distributiva

Sean los enteros [(a,b)], [(c,d)] y [(m,n)]. Tenemos

=

= =

=

=

Por tanto se cumple la siguiente propiedad distributiva

Para cualquiera

Existencia de elementos neutros

El cero, 0 = [(n,n)], tiene la característica de que para todo entero [(a,b)],

y como a + (b + n) = b + (a + n) sean cual sean los números naturales a,b,n, tenemos de donde

por lo que el cero es un elemento neutro para la adición sobre En

para todo términos más sencillos,

Se define como sigue:

Vemos que, para todo entero [(a,b)],

y, puesto que resulta que 1 es un elemento neutro para la multiplicación sobre

Es decir,

para todo pt.

a+b _ c

Existencia de elemento opuesto.

Para cada número existe un elemento opuesto que denotaremos por tal que

Para demostrar que existe el elemento opuesto podemos constrirlo explícitamente como que cumple obviamente la propiedad anterior:

Unicidad del elemento opuesto

Además este opuesto es único. Esto significa que para cada entero existe un único número tal que sumado con él el resultado es cero. Para verlo

podemos suponer que existen dos opuestos y entonces sucede que:

En esta prueba de que el elemento opuesto hemos usado la propiedad asociativa y la unicidad del elemento neutro.

Propiedades cancelativas.

Sean y a + b = a + c. Tenemos que gracias a la existencia del elemento opuesto:

Por tanto, se cumple la siguiente propiedad cancelativa

Para todo

Para la multiplicación también se cumple la propiedad cancelativa, aunque para demostrar esto debe utilizarse un método distinto, ya que no todo elemento de es una unidad (esto es, no todo entero tiene un inverso), y por tanto con su multiplicación, no es un anillo de división. La prueba

...