Ecuaciones Lineales

1- INTRODUCCION

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:

es una ecuación diferencial ordinaria, donde representa una función no especificada de la variable independiente , es decir, ,

es la derivada de con respecto a .

La expresión

es una ecuación en derivadas parciales.

A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida).

La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial.

Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).

1.1 ORDEN DE LA ECUACION

El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación.

1.2 GRADO DE LA ECUACION

Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

1.3 ECUACION DIFERENCIAL LINEAL

Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma , es decir:

• Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.

• En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.

• Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.

Ejemplos:

• es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones , con k un número real cualquiera.

• es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.

• es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.

1.4 USOS

Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.

En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:

Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.

La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:

donde es el tiempo y es la coordenada del punto sobre la cuerda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.

2.1 FUNCIONES HOMOGENEAS

Existen algunas ecuaciones diferenciales que al hacer un cambio de variable adecuado se reducen a ecuaciones en variables separadas, como el ejemplo anterior.

Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas es necesario definir lo que es una función homogénea.

Una función se dice homogénea de grado si

para todo y todo .

Ejemplo

1. La función es homogénea de grado .

2. Las funciones , , son homogéneas de grado 0.

3. Las funciones , , son homogéneas de grado 2.

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, , es homogénea si la función es homogénea de orden cero.

Observación: si la ecuación diferencial está escrita en la forma

sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes y son funciones del mismo grado.

Si la ecuación diferencial ordinaria de primer orden:

es homogénea, entonces el cambio de variable la reduce a una ecuación diferencial en variables separadas.

Demostración:

Al hacer la sustitución obtenemos:

Pero como

...