Ecuaciones Lineales

Sistema de Ecuaciones Lineales.

1. Formación general de un sistema de ecuaciones lineales.

Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de ecuaciones de la forma:

Dondex1, ..., xn son las incógnitas, b1, ..., bm se denominan términos independientes y los números a1j se llaman coeficientes de las incógnitas, formando una matriz que denominaremos A, matriz de coeficientes. Cuando el término independiente sea cero, estamos ante un caso particular de sistemas que denominamos homogéneos.

Un conjunto de n números que verifiquen todas las ecuaciones se llama solución del sistema. Dado un sistema de ecuaciones, el objetivo principal es hallar todas sus soluciones, es decir, hallar todos los valores de x1, ..., xn que verifican todas las ecuaciones.

2. Sistema homogéneo y no Homogéneo.

Sistema de ecuación homogéneo.

Un sistema lineal que tiene todos sus términos independientes igual a cero, es decir, bi = 0 ∀i ∈ {1, 2 • • • n} recibe el nombre de sistema homogéneo.

Todo sistema lineal

a11x1+ a12x2+ a13x3+ • • • +a1mxm = b1

a21x1+ a22x2+ a23x3+ • • • +a2mxm = b2

an1x1+ an2x2+ an3x3+ • • • +anmxm = bn

Tiene asociado el sistema homogéneo.

a11x1+ a12x2+ a13x3+ • • • +a1mxm = 0

a21x1+ a22x2+ a23x3+ • • • +a2mxm = 0

an1x1+ an2x2+ an3x3+ • • • +anmxm = 0

Un sistema homogéneo es siempre compatible puesto que ´ (0, 0, . . . , 0) es siempre solución del sistema, nos referiremos a dicha solución como solución trivial.

Si un sistema homogéneo tiene una solución distinta de cero =⇒ tiene infinitas soluciones.

Sistema de ecuaciones No homogénea

La resolución de ecuaciones no homogéneas es, en general, bastante más difícil que para el caso homogéneo.

Empezamos con un resultado general, y, luego, veremos un método que, en ocasiones, funciona.

Suponemos una ecuación no homogénea

Y llamamos ecuación homogénea asociada a:

Supongamos que conocemos una solución, ,de la ecuación no homogénea(9), a la que llamamos solución particular.

Teorema Toda solución de (9) se puede escribir como suma de la solución particular y una solución cualquiera de la ecuación homogénea asociada (10)

3. Sistema Compatible e Incompatible.

Sistema compatible.

Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre:

Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.

Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.

Quedando así la clasificación:

Sistema incompatible.

Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:

De un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución. Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:

Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.

Matemáticamente un sistema de estos es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condición necesaria para que esto suceda es que el determinante de la matriz del sistema sea cero:

4. Sistema determinado e indeterminado.

Sistemas indeterminados cuando existe un número infinito de soluciones que forman una variedad continua,

Sistemas determinados cuando admiten un conjunto finito de soluciones, o un conjunto infinito de soluciones aisladas sin puntos de acumulación , .

5. Sistemas de ecuaciones indeterminadas.

Una ecuación indeterminada es una ecuación para la cual hay un conjunto infinito de soluciones – por ejemplo, 2x = y. Las ecuaciones indeterminadas no siempre pueden ser resueltas directamente con la información dada. Por ejemplo, las ecuaciones

donde a, b, c, y P son enteros (siempre que P no es un número cuadrado), son ecuaciones indeterminadas. Una ecuación donde las variables sólo pueden tomar valores enteros se conoce como una ecuación diofántica, por lo que las anteriores son ejemplos de ecuaciones diofánticas indeterminadas.

6. Sistema de ecuaciones de una matriz.

Una ecuación matricial es una ecuación donde la incógnita es una matriz.

Para resolver una ecuación matricial se transforma la ecuación inicial en otra equivalente usando las propiedades de las matrices. Es muy importante tener en cuenta que las matrices no son conmutativas, por ello, si se quiere multiplicar una ecuación por determinada matriz hay que hacerlo en ambos

...