El nacimiento

INTRODUCCIÓN: El nacimiento del cálculo de probabilidades estuvo ligado a los juegos de azar. Cardano (que tenía una afición desordenada por el ajedrez y los dados, según reconoce en su autobiografía) escribió “Libro sobre los juegos de azar”, publicado póstumamente en 1663, y que fue considerado el primer tratado serio sobre las probabilidades matemáticas. La correspondencia que Pascal y Fermat intercambiaron ( a mediados del siglo XVII) sobre la geometría del azar marca el nacimiento de la nueva ciencia.

En la actualidad el Cálculo de Probabilidades ha llegado a ser la rama de las matemáticas de mayor penetración en todos los campos, directamente o a través de la Estadística.

1. Experimento aleatorio. Espacio muestral.

Definición 1. Se llama experimento o fenómeno aleatorio a aquél que es susceptible de dar varios resultados, no pudiéndose predecir de antemano cuál de ellos va a producirse en una experiencia concreta.

Cada ejecución del experimento se llama una prueba del mismo.

Ejemplo 1: Lanzar un dado o una moneda al aire son experimentos aleatorios.

Se llama experimento determinista al que realizado en la mismas condiciones se obtiene siempre el mismo resultado (de éstos se ocupa la Física).

Definición 2. Llamaremos suceso elemental a cada uno de los posibles resultados del experimento aleatorio.

Ejemplo 2: En el experimento “lanzar un dado” los sucesos elementales son 6. S1 = “sacar un 1”,.........., S6 = “sacar un 6”.

Definición 3. Se llama espacio probabilístico o espacio muestral, E, al conjunto de todos sus sucesos elementales.

Ejemplo 3: En el experimento lanzar una moneda el espacio muestral tiene dos elementos, :E = íC, Fý.

Ejercicio 1. Encuentra el espacio muestral del experimento lanzar dos monedas.

Definición 4. Se llama suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral.

Diremos que un suceso, A, ocurre (o se verifica) en una prueba si el resultado de la misma es uno de los sucesos elementales que pertenecen a A.

Ejemplo 4: El suceso A = sacar par al lanzar un dado (A= í S2, S4, S6 ý) se verifica si sale un dos, un cuatro o un seis.

Ejemplo 5. Si tiramos dos monedas al aire sea A = “al menos una sea cara”. El suceso A consta de tres sucesos elementales a saber CC, CF y FC.

En todo espacio muestral podemos distinguir los siguientes sucesos:

§ Sucesos elementales, los subconjuntos con un solo elemento.

§ Suceso seguro, E, el propio espacio muestral.

§ Suceso imposible, f, que no posee ningún suceso elemental (no puede verificarse).

Teniendo en cuenta que los sucesos son subconjuntos se suelen usar los diagramas de Venn para representarlos.

Figura 1

A E

Si A y B son dos sucesos del espacio muestral E, éste queda dividido en cuatro partes:

Los que están en A y no en B, los que están en B y no en A, los que están en ambos y los que no están ni en a ni en B.

Figura 2

A E

a c B

b d

En el dibujo se ha indicado el número de sucesos elementales que les corresponden.

Llamaremos P(E) al conjunto de todos los sucesos, es decir a partes de E.

ª Diremos que el suceso A implica el B, sí siempre que se verifica A se verifica B. Se indica A Ì B, pues todos los sucesos de A pertenecen a B.

Ejemplo 6. A = “sacar un dos” ; B = “sacar par”

ª Dos sucesos son iguales cuando contienen los mismos sucesos elementales; se puede expresar esto diciendo que se implican mutuamente, A Ì B y BÌ A.

Definición 5. Se llama suceso contrario (o complementario) de A, y se representa por A’ ó Ac, al formado por los sucesos elementales de E que no están en A.

A Ac

Es decir se verifica Ac cuando no se verifica A.

Ejemplo 7. Si consideramos el suceso A = sacar dos cruces, al lanzar dos monedas, Ac es el suceso sacar al menos una cara.

Ejemplo 8. En la figura 1 el contrario de B está formado por a+d elementos.

2. Operaciones con sucesos

Teniendo en cuenta que los sucesos son subconjuntos se definen la:

v Unión de sucesos.

Se llamará unión de dos sucesos A y B al que se verifica cuando en una prueba el resultado es un elemento de A o de B (o de ambos). Se representa AÈB (corresponde a la unión conjuntista).

Ejemplo 9. En la figura 2 el suceso AÈB tiene a + c + b elementos.

vIntersección de sucesos.

Llamaremos suceso intersección de A y B al que ocurre cuando el resultado de una prueba es un elemento de ambos. Se representa A ÇB (corresponde a la intersección conjuntista).

Ejemplo 10. En la figura 2 el suceso intersección tiene c elementos.

uDiferencia de sucesos.

Si A y B son dos sucesos se define su diferencia como: A - B = A Ç Bc.

Se verifica pues: Ac = E - A.

Ejemplo 11. En la figura 2., A - B tiene a elementos.

Definición 6. Dos sucesos A y B se dice que son incompatibles si tienen intersección vacía. En otro caso se dirán compatibles.

Ejemplo 12. Cualquier suceso A y su contrario son incompatibles.

Ejemplo 13. Si extraemos dos cartas de una baraja española (40 cartas) los sucesos:

A = “ las dos sean copas” y B = “ una sea copas y la otra rey” son compatibles.

Problema 1. En una determinada población el 50% ha estado casado alguna vez, el 50% tiene menos de 70 años y el 80% no padece ninguna enfermedad contagiosa. De estos últimos el 60% tiene menos de 70 años y el 40% ha estado casado alguna vez. De los que han estado casados alguna vez, sólo el 20% tiene menos de 70 años. El 10% de la población reúne las tres condiciones. Representar la información anterior en un diagrama de Venn.

Solución

(Por comodidad en la representación consideramos que la población tiene 100 personas)

Sea C el conjunto de los que han estado casados alguna vez.

“ B “ tienen menos de 70 años.

“ E “ no padecen enfermedad contagiosa.

card ( C ) = 50% de la población; card (E) = 80%; card (B) =50%:

card (E Ç B) = 48%; card (E Ç C) = 32%; card (C Ç B) = 10%;

card (C Ç E Ç B) = 10%

Ejercicio 1. Calcula el porcentaje de individuos que no habiendo estado casados nunca, tengan menos de 70 años y no padecen enfermedad contagiosa.

Indicación : es el cardinal de Cc Ç B Ç E (Sol. 38%)

3. Espacio probabilístico asociado a un experimento aleatorio.

Idea intuitiva de probabilidad

¨ Al realizar N pruebas de un experimento aleatorio se llama frecuencia absoluta del suceso A, n(A), al nº de veces que se ha verificado A.

La frecuencia relativa de un suceso A se define como el cociente entre su frecuencia absoluta y el nº total de pruebas, es decir:

Ejercicio 2. Lanzar un dado 30 veces y calcula las frecuencia relativa del suceso obtener un 6.

Propiedades:

1) La frecuencia relativa de cualquier suceso, A, es un nº racional del intervalo [0,1], es decir 0£ f(A) £ 1

2) f(E) = 1, la frecuencia relativa del suceso seguro es 1.

3) Si A Ç B =f Þ f (A È B) = f(A) + f(B), es decir si dos sucesos son incompatibles la frecuencia relativa de su unión es la suma de sus frecuencias relativas.

La comprobación es inmediata.

§ Cuando se realiza un nº muy grande de pruebas puede comprobarse que la frecuencia relativa de uno cualquiera de los sucesos tiende a estabilizarse. Esto quiere decir que la frecuencia relativa toma valores próximos a un nº fijo, y que según aumenta el nº de pruebas más se acerca a ese valor. A dicho valor es al que llamaremos la probabilidad[1] de A, p(A)

p(A) = (probabilidad a posteriori).

Esta forma de asignar probabilidades tiene el inconveniente de puede variar de unas series a otras, a pesar de la estabilidad de las frecuencias.

§ Otra forma consiste en asignar una probabilidad a priori cuando se cumpla el postulado de indiferencia o ley de la ignorancia[2].

Ejemplo 14. Si el experimento es lanzar un dado, que no esté trucado, se cumple dicho postulado, a cada resultado se le asigna como probabilidad a priori el valor 1/6.

Probabilidad de Laplace

Cuando se pueda asegurar que se cumple el postulado de indiferencia, es decir que todos los sucesos elementales sean igualmente posibles, se define:

p(A) =Número de casos favorables a A

Número de caso posibles

Se conoce como la Regla de Laplace, el nº obtenido es la probabilidad a priori o de Laplace.

Ejemplo 15. Consideremos el experimento lanzar dos monedas al aire. Vamos a calcular la probabilidad del suceso, A, sacar una cara y una cruz.

El espacio muestral consta de cuatro sucesos elementales igualmente “probables”:

CC, CF, FC y FF, luego p(A) =2/4 =1/2.

Ejercicio 3. Calcula la probabilidad de obtener dos 6 al lanzar dos dados.

Definición axiomática de probabilidad

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