En ecuaciones diferenciales debemos saber qué es lo que se debe encontrar para decir que nuestra ecuación está completa

Introducción:

En ecuaciones diferenciales debemos saber qué es lo que se debe encontrar para decir que nuestra ecuación está completa o que hemos llegado a la respuesta. Los ejercicios de análisis sirven para aumentar la capacidad del alumno de comprender muchas cosas, hay varias formas de anotar una ecuación, de verla, de resolverla y de llegar a un resultado. Todo eso tenemos que tenerlo presente a la hora de resolver una ecuación diferencial. Hay diferentes métodos, podemos decir que nuestra ecuación diferencial es inmediata, que es de variables separables, que se puede resolver por el método de las lineales o que es una ecuación diferencial exacta, pero debemos comprobar que realmente lo sean y demostrar que el resultado al que lleguemos sea realmente una posible respuesta de nuestra ecuación diferencial.

Existen varias maneras (como ya se dijo) de resolver cualquier operación matemática, y el objetivo de este tipo de problemas, es que analicemos y entendamos por qué es posible hacer eso y cómo podemos llegar a una solución confiable con un poco de análisis.

Al principio podrá parecer complicado o casi imposible de hacer, pero como recordemos los conocimientos adquiridos de los cursos de matemáticas pasados, sabremos que lo más probable es que nosotros mismos seamos quienes estamos complicando un problema que se resuelve de manera muy simple.

Considere la ecuación diferencial , donde a y b son constantes positivas.[pic 1]

1. Ya sea por inspección visual o con el método sugerido en el libro base, encuentre una solución constante de la Ecuación Diferencial.

Antes de comenzar a resolver la ecuación diferencial se deben entender ciertas cosas.  nos indica que  es el resultado de la primera derivada de  con respecto de , así que si se pide una solución constante de la ecuación diferencial, (sabiendo que el resultado de una ecuación diferencial es el valor de la variable dependiente), esto significa que . Comprendido esto, podemos decir que el resultado de esa derivación resultará en un producto que arrojará un 0 como respuesta. Ahora decimos que para que una multiplicación sea 0, se tiene que multiplicar por 0, y como tenemos 2 miembros hay 2 respuestas posibles, que el primero sea 0, o que lo sea el segundo.[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

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1. Utilice solo la ecuación diferencial para encontrar intervalos en el eje  sobre los que una solución no constante  sea creciente; también, sobre los cuales  sea decreciente.[pic 11][pic 12][pic 13]

Para encontrar estos intervalos debemos volver a retomar lo que se dijo con anterioridad. En este caso , pero su resultado seguirá siendo un producto, por lo tanto, para que sea decreciente, ese producto (que es el resultado de su derivada) tiene que ser positivo, y para que sea decreciente, debe ser negativo, por tanto:[pic 14]

• Creciente:

1.                 ∧        [pic 15][pic 16]

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1.                 ∧        [pic 19][pic 20]

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• Decreciente:

1.         ∧        [pic 23][pic 24]

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1.         ∧        [pic 27][pic 28]

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1. Utilizando solo la ecuación diferencial, explique por qué  es la coordenada  de un punto de inflexión de la gráfica de una solución no constante  [pic 31][pic 32][pic 33]

El resultado de la ecuación diferencial será el mismo producto de funciones que obtuvimos antes, así que si  procederemos a sustituir ese valor dentro de la ecuación diferencial:[pic 34]

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