Equilibrio De Un Cuerpo

EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO

Por definición una partícula puede tener solo movimiento de traslación. Si la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula es cero, la partícula está moviéndose con velocidad constante o está en reposo; en este último caso se dice que está en equilibrio estático. Pero el movimiento de un cuerpo rígido en general es de traslación y de rotación. En este caso, si la resultante tanto de las fuerzas como de los torques que actúan sobre el cuerpo rígido es cero, este no tendrá aceleración lineal ni aceleración angular, y si está en reposo, estará en equilibrio estático. La rama de la mecánica que estudia el equilibrio estático de los cuerpos se llama estática.

Para que un cuerpo rígido este en equilibrio estático se deben cumplir dos requisitos simultáneamente, llamados condiciones de equilibrio. La primera condición de equilibrio es la Primera Ley de Newton, que garantiza el equilibrio de traslación. La segunda condición de equilibrio, corresponde al equilibrio de rotación, se enuncia de la siguiente forma: “la suma vectorial de todos los torques externos que actúan sobre un cuerpo rígido alrededor de cualquier origen es cero”. Esto se traduce en las siguientes dos ecuaciones, consideradas como las condiciones de equilibrio de un cuerpo rígido:

1ª condición de equilibrio: (6.3)

2ª condición de equilibrio: (6.3)

Como estas ecuaciones vectoriales son equivalentes a seis ecuaciones escalares, resulta un sistema final de ecuaciones con seis incógnitas, por lo que limitaremos el análisis a situaciones donde todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido, están en el plano xy, donde también obviamente se encuentra r.

Con esta restricción se tiene que tratar sólo con tres ecuaciones escalares, dos de la primera condición de equilibrio y una de la segunda, entonces el sistema de ecuaciones vectorial (6.3) y (6.4) se reduce a las siguientes ecuaciones es calares:

Cuando se tratan problemas con cuerpos rígidos se debe considerar la fuerza de gravedad o el peso del cuerpo, e incluir en los cálculos el torque producido por su peso. Para calcular el torque debido al peso, se puede considerar como si todo el peso estuviera concentrado en un solo punto, llamado centro de gravedad. Se han preguntado alguna vez ¿por qué no se cae la Torre de Pisa?, o ¿por qué es imposible tocarte los dedos de los pies sin caerte cuando estas de pie apoyado con los talones contra la pared? ¿Por qué cuando llevas una carga pesada con una mano, extiendes y levantas el otro brazo? Para responder a esto debemos definir los conceptos de centro de masa y de centro de gravedad y su aplicación al equilibrio estático.

CENTRO DE GRAVEDAD.

Debido a que un cuerpo es una distribución continua de masa, en cada una de sus partes actúa la fuerza de gravedad. El centro de gravedad es la posición donde se puede considerar actuando la fuerza de gravedad neta, es el punto ubicado en la posición promedio donde se concentra el peso total del cuerpo. Para un objeto simétrico homogéneo, el centro de gravedad se encuentra en el centro geométrico, pero no para un objeto irregular.

El centro de gravedad o centro de masas de un sistema continuo es el punto geométrico definido como:

rcm=(∫▒rdm)/(∫▒dm)=(∫▒rdm)/M

En mecánica del sólido rígido, el centro de masa se usa porque tomando un sistema de coordenadas centrado en él, la energía cinética total K puede expresarse como

K=1/2 MV +Krot

siendo M la masa total del cuerpo, V la velocidad de traslación del centro de masas y Krot la energía de rotación del cuerpo, expresable en términos de la velocidad angular y el tensor de inercia.

Considerando el sistema de n partículas fijo dentro de una región del espacio,

Los pesos de las partículas consisten en un sistema de fuerzas paralelas que se pudesustituir por un solo peso resultante (equivalente) y un punto definido de aplicació. Este punto es llamado centro de gravedad G. Por lo que

La suma de los momentos de los pesos de todas las partículas en torno a los ejes x,y,z es igual al momento del peso resultante alrededor de estos ejes. Así, para determinar la coordenada x de G, podemos sumar momentos en torno al eje y.

Aunque los pesos no producen momento en torno al eje z, podemos obtener la coordenada z de G imaginando el sistema de coordenadas sometido a una rotación de 90ºrespecto al eje x ( o y) con las partículas fijas en él. Sumando momentos en torno del eje x, tenemos

Asimismo, sumando momentos en torno al eje x, podemos obtener la coordenada ;es decir,

Aunque los pesos no producen momento en torno al eje z, podemos obtener la coordenada z de G imaginando el sistema de coordenadas sometido a una rotación de90º respecto al eje x ( o y) con las partículas fijas en él. Sumando momentos en torno del eje x, tenemos

Podemos generalizar estas fórmulas y escribirlas simbólicamente en la forma

CENTRO DE MASA

La densidad ρ o masa por unidad e volumen, se relaciona con γ mediante

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