Error Estándar

Error Estándar:

El error estándar es la desviación estándar de la distribución muestral de un estadístico. El término se refiere también a una estimación de la desviación estándar, derivada de una muestra particular usada para computar la estimación.

Por ejemplo, para la media muestral es el estimador usual de una media poblacional. Sin embargo, diferentes muestras escogidas de la misma población tienden en general a dar distintos valores de media muestral. El error estándar de la media (es decir, de usar las medias muestrales para estimar la media poblacional) es la desviación estándar de todas las posibles muestras (de un tamaño dado) escogidos de esa población. Además, el error estándar de la media puede referirse a una estimación de la desviación estándar, calculada desde una muestra de datos que está siendo analizada al mismo tiempo.

En aplicaciones prácticas, el verdadero valor de la desviación estándar (o del error) es generalmente desconocido. Como resultado, el término "error estándar" se usa a veces para referirse a una estimación de esta cantidad desconocida. En tales casos es importante tener claro de donde proviene, ya que el error estándar es sólo una estimación. Desafortunadamente, esto no es siempre posible y puede ser mejor usar una aproximación que evite usar el error estándar, por ejemplo usando la estimación de máxima verosimilitud o una aproximación más formal derivada de los intervalos de confianza. Un caso bien conocido donde se pueda usar de forma apropiada puede ser en la distribución T de Student para proporcionar un intervalo de confianza para una media estimada o diferencia de medias.

En análisis de regresión, el término error estándar o error típico es también usado como la media de las diferencias entre la estimación por mínimos cuadrados y los valores dados de la muestra.

Error Estándar de la Media:

El error estándar de la media (llamado en inglés "standard error of the mean" (SEM)) cuantifica las oscilaciones de la media muestral (media obtenida en los datos) alrededor de la media poblacional (verdadero valor de la media). El EEM o SEM se estima generalmente dividiendo la desviación estándar de la población entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra (asumiendo independencia estadística de los valores en la muestra):

Donde s es la desviación estándar (es decir, la estimación basada en la muestra de la desviación estándar de la población). Y n es el tamaño (número de individuos de la muestra)

Esta estimación puede ser comparada con la fórmula de la verdadera desviación estándar de la media de la muestra:

Donde σ es la verdadera desviación estándar de la población.

Esta fórmula puede alcanzarse desde lo que ya conocemos sobre la varianza de la suma de variables independientes aleatorias

• Si son observaciones independientes de una población que tiene una media y una desviación estándar , entonces la varianza del total

• La varianza de debe ser

• Y la desviación estándar de debe ser .

• Por supuesto, es la media de la muestra .

Nota: El error estándar y la desviación estándar de muestras pequeñas tienden a minimizar sistemáticamente el error estándar y la desviación estándar de la población: el error estándar de la media es un parámetro sesgado del error estándar de la población. Con n=2 la infravaloración puede ser del 25%, pero para n=6 la infravaloración es sólo del 5%

Supuestos y Utilización:

Si se asume que los datos utilizados están distribuidos por la normal, los cuartiles de la distribución normal, la media de la muestra y el error estándar pueden ser usados para calcular intervalos de confianza aproximados para la media. Las siguientes expresiones pueden ser usadas para calcular los límites de confianza por encima y por debajo del 95%, donde es igual a la media de la muestra, es igual al error estándar para la media de la muestra, y 1,96 es el cuartil 0.975 de la distribución normal:

Por encima del 95% Límite =

Por debajo del 95% Límite =

En particular, el error estándar de una muestra estadística (como lo es de la media de la muestra) es la desviación estándar estimada del error en el proceso que ésta es generada. En otras palabras, el error estándar es la desviación estándar de la distribución muestral de la muestra estadística. La notación para el error estándar (del inglés) puede ser , (por error estándar de "medida" (measurement) o "media" (mean)), o .

Los errores estándar proporcionan una medida sobra la incertidumbre de las medidas de la muestra en un único valor que es usado a menudo porque:

• Si el error estándar de varias cantidades individuales es conocido entonces el error estándar de alguna función matemática de esas cantidades puede ser fácilmente calculado en muchos casos:

 Donde la distribución de probabilidad del valor es conocida, ésta puede ser usada para calcular una buena aproximación de un intervalo de confianza exacto.

 Donde la distribución de probabilidad es desconocida, relaciones como la Desigualdad de Chebyshov o la desigualdad de Vysochanskiï–Petunin pueden ser usadas para calcular unos intervalos de confianza conservativos.

• Como el tamaño de la muestra tiende a infinito, el teorema del límite central garantiza que la distribución de la media muestral es asintóticamente la distribución normal.

Cálculos de error Estándar:

El error estándar indica la propagación de las mediciones dentro de una muestra de datos. Es la desviación estándar dividida por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra de datos. La muestra puede incluir datos de las mediciones científicas, resultados de exámenes, las temperaturas o una serie de números al azar. La desviación estándar indica la desviación de los valores de la muestra a partir de la media de la muestra. El error estándar es inversamente proporcional al tamaño de la muestra - cuanto más grande la muestra, menor será el error estándar.

Estimación Estadística:

Son el conjunto de técnicas que permiten dar un valor aproximado de un parámetro de una población a partir de los datos proporcionados por una muestra. Por ejemplo, una estimación de la media de una determinada característica de una población de tamaño N podría ser la media de esa misma característica para una muestra de tamaño n.

La estimación se divide en tres grandes bloques, cada uno de los cuales tiene distintos métodos que se usan en función de las características y propósitos del estudio:

≠ Estimación puntual

≠ Estimación por intervalos.

≠ Estimación bayesiana

Estimación puntual

Consiste en la estimación del valor del parámetro mediante un sólo valor, obtenido de una fórmula determinada. Por ejemplo, si se pretende estimar la talla media de un determinado grupo de individuos, puede extraerse una muestra y ofrecer como estimación puntual la talla media de los individuos. Lo más importante de un estimador, es que sea un estimador eficiente. Es decir, que sea insesgado (ausencia de sesgos) y estable en el muestreo o eficiente (varianza mínima).

Parámetro:

En estadística, un parámetro es un número que resume la ingente cantidad de datos que pueden derivarse del estudio de una variable estadística.

Un parámetro estadístico es una medida poblacional. Este enfoque es el tradicional de la estadística descriptiva. En este sentido, su acepción se acerca a la de medida o valor que se compara con otros, tomando una unidad de una determinada magnitud como referencia.

Por su parte, la facción más formal de la estadística, la estadística matemática y también la inferencia estadística utilizan el concepto de parámetro en su acepción matemática más pura, esto es, como variable que define una familia de objetos matemáticos en determinados modelos. Así se habla, por ejemplo, de una distribución normal de parámetros μ y σ como de una determinada familia de distribuciones con una distribución de probabilidad de expresión conocida, en la que tales parámetros definen aspectos concretos como la esperanza, la varianza, etc. Otro ejemplo común en este sentido es el de la distribución de Poisson, determinada por un parámetro, λ; o la distribución binomial, determinada por dos parámetros, n y p. Desde el punto de vista de la estadística matemática, el hecho de que estas distribuciones describan situaciones reales y los citados parámetros signifiquen un resumen de determinado conjunto de datos es indiferente.

Principales Parámetros:

Habitualmente se agrupan los parámetros en las siguientes categorías:

Medidas de posición.

Se trata de valores de la variable estadística que se caracterizan por la posición que ocupan dentro del rango de valores posibles de esta. Entre ellos se distinguen:

≠ Las medidas de tendencia central: medias, moda y mediana.

≠ Las medidas de posición no central: cuantiles (cuartiles, deciles y percentiles).

Medidas de dispersión:

Resumen la heterogeneidad de los datos, lo separados que estos están entre sí. Hay dos tipos, básicamente:

≠ Medidas de dispersión absolutas, que vienen dadas en las mismas unidades en las que se mide la variable: recorridos, desviaciones medias, varianza, desviación típica y media.

≠ Medidas de dispersión relativa, que informan de la dispersión en términos relativos, como un porcentaje. Se incluyen entre

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