Escalas gráficas y reducciones

Escalas gráficas y reducciones.

Reducciones y escalas, concepto

Ángulo de pendiente.

En general, cuando un segmento oblicuo a un plano se proyecta sobre él, dicha proyección experimenta una reducción. Cuando la proyección es ortogonal al plano de proyección, la magnitud de la proyección es igual a la verdadera magnitud del segmento multiplicada por el coseno del ángulo que este forma con el plano. Este coseno recibe el nombre de coeficiente de reducciónen el sistema de representación axonométrico. Figura 1.

En este sistema las aristas del triedro de referencia proyectadas sobre el cuadro en los ejes OX, OY y OZ experimentan la reducción mencionada por ser oblicuas a dicho plano y tratarse de una proyección cilíndrica ortogonal. El ángulo a comprendido entre el plano de proyección y cada una de las aristas, que se denomina ángulo de pendiente, determina como hemos dicho, la reducción correspondiente a cada eje. Figura 2.

Ángulo de pendiente.

Ángulo de pendiente.

Las unidades de medida tomadas en las aristas experimentan esta misma reducción y por tanto las coordenadas de un punto dado A (x, y, z) se verán afectadas, cada una según la reducción del eje correspondiente.

Las rectas axonométricas (paralelas a los ejes axonométricos) experimentarán reducciones idénticas a las de sus ejes correspondientes.

En Isométrica el ángulo de pendiente es igual para los tres ejes y por tanto el coeficiente de reducción (C=0,816), la reducción que los ejes experimentan es por tanto, la misma.

En Dimétrica tenemos 2 ángulos de pendiente diferentes, uno para dos de los ejes y otro para el tercero, los primeros experimentarán una reducción diferente a la del tercero.

En Trimétrica 3 son los ángulos de pendiente, uno para cada uno de los ejes y tres serán por tanto los coeficientes de reducción a aplicar.

Las reducciones de las unidades de los ejes o de segmentos axonométricos (paralelos a estos) expresados según coordenadas x, y, z, pueden calcularse multiplicándola verdadera magnitud por el coeficiente de reducción correspondiente o bien gráficamente como veremos más adelante. Los ángulos entre los ejes varían en función de los coeficientes de reducción y/o ángulos de pendiente como comprobaremos más adelante.

En el ejemplo siguiente, se proyectan primero las unidades Ux, Uy y Uz reducidas en los correspondientes ejes OX, OY y OZ y se representa después un punto expresado por sus coordenadas A(3,2,3). Ambos ejercicios en Perspectiva Trimétrica sabiendo que los ejes OY-OX, OX-OZ y OZ-OY forman entre sí 135º, 105º y 120º respectivamente y que los coeficientes de reducción son Cx= 0’92 para el eje OX, Cy= 0’644 para el eje OY y Cz= 0’862 para el eje OZ.

Multiplicando los valores de las coordenadas por sus correspondientes coeficientes obtendremos las magnitudes reducidas que tendremos que medir sobre los ejes a partir del origen de coordenadas. Figura 3.

Escalas axonométricas.

A menudo se simplifican los coeficientes de reducción dividiéndolos entre la reducción correspondiente al eje X. El resultado es la ESCALA AXONOMÉTRICA, en donde las magnitudes referentes a los tres ejes mantienen sus proporciones pero la reducción no es la correcta en términos absolutos.

Supongamos que los coeficientes de reducción de una perspectiva trimétrica son Cx=0’9, Cy=0’7 y Cz=0’8 para los ejes X, Y y Z respectivamente. Si aplicamos la reducción correspondiente a cada uno de los ejes el objeto representado estos se reducen de forma diferente en cada una de sus dimensiones.

Si aplicamos la simplificación mencionada o escala axonométrica según lo dicho (0,9/0,9=1; 0,7/0,9=7/9 y 0,8/0,9=8/9), el dibujo mantiene la proporcionalidad entre las tres dimensiones pero la reducción absoluta no es la correcta. En cualquier caso el manejo de los coeficientes se simplifica pues el correspondiente al eje X es igual a 1 y por tanto, las dimensiones en este eje no varían.

Esta simplificación está aceptada por las normas si bien cambia la denominación de perspectiva axonométrica a dibujo axonométrico cuando ésta se aplica. Cuando se trata de una perspectiva Isométrica, la escala axonométrica o simplificada será 1:1:1 y el dibujo no experimentará ninguna reducción. La perspectiva se denominará en este caso DIBUJO ISOMÉTRICO.

En el ejemplo siguiente representamos el punto A del ejercicio anterior para la misma situación de ejes y por tanto idénticos coeficientes pero aplicando las escalas, es decir, dividimos los coeficientes por el del eje OX y obtenemos la escala axonométrica 1:7/10:15/16. En este caso la coordenada X no experimentará reducción y variarán respecto al ejercicio anterior los valores de las coordenadas del eje OY y OZ. En cualquier caso, el dibujo axonométrico será proporcional a la perspectiva anterior. Figura 4.

Reducciones de las unidades de los ejes axonométricos.

Reducciones de las unidades de los ejes axonométricos.

Escalas más usuales.

En la taba siguiente se detalla una relación de las escalas más usuales en dibujo axonométrico así como sus correspondientes coeficientes y ángulos entre ejes.

Escalas axonométricas usuales.

Escalas axonométricas usuales.

A partir de los ángulos entre los ejes axonométricos podemos calcular los ángulos de pendiente de las aristas del triedro de referencia con el plano del cuadro y, a partir de estos, los coeficientes de reducción para cada uno de los ejes sin más que calcular los cosenos correspondientes.

Determinación de los ángulos de pendiente.

En el ejercicio 6 se han resuelto los ángulos de pendiente α, β y δ de las aristas O-Z1, O-Y1 y O-X1 respectivamente.

En la figura 5A se ha dibujado en perspectiva libre el triedro de referencia apoyado por su vértice en el plano del cuadro y el triángulo de las trazas ABC generado por el plano secante P paralelo al plano del cuadro. El ángulo α de pendiente de, por ejemplo la arista O-Z1, es como sabemos el ángulo que esta forma con el plano del cuadro que es el mismo que dicha arista forma con el plano secante P. En la figura 5B se ha representado una proyección de perfil del problema.

Determinación de los ángulos de pendiente.

Determinación de los ángulos de pendiente.

Para determinar este ángulo α observaremos que pertenece a un triángulo rectángulo de vértice rectángulo en O e hipotenusa A-n siendo n el pié de la altura del vértice A del triángulo de las trazas. Este triángulo resulta proyectante sobre el plano del cuadro por lo que, para poder apreciar la verdadera magnitud del ángulo α tendremos que abatirlo sobre el propio plano del cuadro o sobre un plano paralelo a este, abatiremos pues en la figura 6A el mencionado triángulo rectángulo sobre el plano P secante tomando como charnela su hipotenusa A-n y sabiendo que su vértice opuesto ha de ser recto. Para ello bastará trazar el arco capaz de 90º para la hipotenusa A-n con centro en su punto medio m en un sentido o en otro hasta cortar en O1 a la perpendicular trazada a ella misma por el propio vértice O del triedro. O1 será el vértice del triángulo abatido.

El segmento O-O1 es perpendicular a la charnela. Como en todo abatimiento resuelto en proyecciones cilíndricas ortogonales, un punto y el propio punto abatido están sobre una perpendicular a la charnela que no es sino el circulo que este punto describe en el proceso y que resulta proyectante al cuadro y perpendicular al eje de giro o charnela. Uniendo el punto A con el punto O1 obtenemos el cateto O-A o eje Z abatido y el ángulo a en verdadera magnitud. En las figuras 6B y 6C se calculan por el mismo procedimiento los ángulos de pendiente β y δ de las aristas O-Y1 y O-X1 respectivamente.

Determinación de los ángulos de pendiente.

Determinación de los ángulos de pendiente.

Escalas gráficas

A menudo no nos darán como datos los coeficientes de reducción gráfica sino el ángulo que forman entre sí los ejes. A partir de este dato tendremos que calcular las reducciones. Podemos proceder como en el ejercicio anterior, calculando los ángulos de pendiente para posteriormente hallar sus cosenos o bien, resolver este problema de forma exclusivamente gráfica. Conocidas las reducciones podremos llevar sobre cada uno de los ejes la unidad de medida ya reducida y establecer a partir de ésta una escala gráfica en cada uno o bien crearnos escalas volantes para cada uno de los ejes.

Son 2 dos los métodos, según la charnela de abatimiento escogida, que podemos emplear para calcular las escalas gráficas conocidos los ejes y en ambos casos el procedimiento consiste en situar, mediante abatimiento, las aristas del triedro en verdadera magnitud colocando sobre ellas las unidades de medida para posteriormente desabatir y obtener de este modo la proyección sobre los ejes de las unidades de medida con sus correspondientes reducciones.

Primer método: obtención de las escalas gráficas abatiendo a partir de las trazas del triángulo fundamental.

Abatiendo las aristas del triedro sobre el plano secante P paralelo al cuadro y que genera el triángulo fundamental ABC, tenemos estas en verdadera magnitud.

Escalas gráficas abatiendo a partir de las trazas del triángulo fundamental.

Escalas gráficas abatiendo a partir de las trazas del triángulo fundamental.

Situamos en estas aristas abatidas la verdadera magnitud de la unidad de medida

...