Estadística Inferencial

Tema 3 Estadística Inferencial.

AO7 Distribución Normal

MODELO DE LA DISTRIBUCION NORMAL: la distribución más utilizada para modelar experimentos aleatorios es la distribución normal (distribución de Gauss o Gaussiana). La apariencia normal de la grafica de la distribución normal es una curva asimétrica con respecto al valor µ media poblacional con forma de campana que se extiende se extiende sin limites tanto en la región positiva como en la negativa como se muestra en la figura.

Los valores µ y σ tienen un significado preciso

Representa el valor µ determina el centro de la función de la variable X

Mientras que σ simboliza el valor de la desviación estándar o dispersión poblacional respecto del valor medio µ.

NOTA: Si una variable presenta un comportamiento distinto del normal esto no quiere decir que por ello no sea anormal sino simplemente que la ecuación que describe su curva de frecuencia es de otro tipo en la expresión de la función se caracteriza la curva del modelo normal hay dos elementos que cambian de un caso a otro µ y σ como se observa en la formula

Consideremos 3 distribuciones normales con igual desviación estándar poblacional σ1= σ2= σ3, pero de tal modo que ellas tengan diferentes valores de medias poblacionales o sea 1<2<3. Si tenemos iguales dispersiones o desviaciones estándar poblacionales σ, serán iguales los máximos de las campanas y tenemos los valores de µ distintos, las curvas estarán centradas en µ1, µ2 y µ3 respectivamente y estas se encontrarán colocadas sobre el eje que representa a la variable aleatoria en esa forma escalonada.

La altura de las 3 curvas son iguales, pero cambian sus posiciones en el eje que representa la variable aleatoria (X).

Consideremos 3 distribuciones normales con igual media poblacional () pero con diferentes valores de desviación estándar poblacional 1<2<3. Como tienen medias poblacionales (µ) iguales, las tres están centradas en el mismo valor. Las dispersiones desiguales implican que las alturas máximas de las curvas que ellas representan, lo sean también, estableciéndose la siguiente relación: a menor valor de σ mayor altura.

m: es el punto del gráfico en que la curva normal alcanza su valor máximo.

s: es el valor que altera o cambia el máximo de la curva en forma inversa a su magnitud, manifestándose esto en que la curva gana en altura (se hace más apuntada) o baja de altura (se hace mas achatada), para valores pequeños o grandes de σ respectivamente.

Los valores de μ y σ representan constantes con valores específicos para cada distribución, estos permiten caracterizar o individualizar a la misma, por esta particularidad a dichos valores se les conoce como parámetros de la distribución normal.

El hecho de que, una variable aleatoria x tenga una distribución normal con parámetros m y s, se denotara en la escritura por: X ~ N(m,s), denominándose a la misma como variable aleatoria normal.

IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCION NORMAL.

1. Se ha observado que muchas variables tales como: Peso, talla, presión sanguínea, niveles ricos de ácido úrico, valores de hemoglobina, colesterol, puntajes de exámenes, cociente intelectual, siguen aproximadamente su forma.

2. La mayoría de las distribuciones de probabilidad tanto continuas como discretas convergen a la Distribución Normal. La Curva Normal se puede utilizar como una excelente aproximación para el cálculo de probabilidades cuando el fenómeno que se estudia sigue una Distribución Hipergeométrica, de Poisson, Binomial, entre otras.

Una propiedad muy utilizada de la distribución normal son los 3 intervalos que le mostramos a continuación.

a) Pr (µ – s < X < µ + s ) = 0.6827

b) Pr (µ – 2s < X < µ + 2s ) = 0.9545

c) Pr (µ – 3s < X < µ + 3s ) = 0.9973

La probabilidad Pr los valores de la variable X se encuentren entre (µ – s<X<µ+s) = 0.6827 supongamos que tenemos un grupo de 100 pacientes aquejados de Hipertension Arterial en este intervalo podemos encontrar aproximadamente el 68% de los valores de la presión sistólica de estos pacientes como podemos apreciar en el siguiente grafico

La probabilidad Pr de que la variable se encuentre entre (µ – 2s < X < µ + 2s ) = 0.9545 en este caso para nuestro grupo de 100 pacientes aquejados de Hipertensión Arterial en ese intervalo podremos encontrar aproximadamente el 95% de los valores de sus presiones sistólicas.

La probabilidad Pr de que los valores de la variable X se encuentren entre (µ – 3s<X<µ+3s) = 0.9973 en este intervalo podremos encontrar aproximadamente el 99% de los valores de las presiones sistólicas de nuestro grupo de 100 pacientes aquejados de Hipertensión Arterial.

MODELO DE DISTRIBUCION NORMAL: Los intervalos más utilizados en la práctica son:

• Pr (µ – 1.96 s < X < µ + 1.96 s ) = 0.95 (La probabilidad de que los valores de esta variable se encuentren en este intervalo es de 0.95)

• Pr(µ – 2.58 s < X < µ + 2.58 s ) = 0.99 (La probabilidad de que los valores de esta variable se encuentren en este intervalo es de 0.99)

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCION NORMAL.

1. Tiene una única moda, que coincide con su media  y su mediana.

2. La curva normal es asintótica al eje de las abscisas. Por ello, cualquier valor entre - y + es teóricamente posible. El área total bajo la curva es por tanto, igual a 1. Asintótica significa que una curva se encuentra continúa a una recta sin llegar nunca a encontrarla.

3. Es simétrica con respecto a su media . Según esto, para este tipo de variables existe una probabilidad de un 50% de

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