Estadística para Administradores Richard I. Levin & David S. Rubin

Estadística para Administradores  Richard I. Levin & David S. Rubin

4.44 El gerente del departamento de crédito de una tienda departamental sabe que la compañía utiliza tres métodos para conminar a pagar a las personas con cuentas morosas. De los datos que se tienen registrados, él sabe que 70% de los deudores son visitados personalmente, 20% se les sugiere que paguen por vía telefónica y al restante 10% se le envía una carta. Las probabilidades de recibir alguna cantidad de dinero debido a los pagos de una cuenta con estos tres métodos son 0.75, 0.60 y 0.65 respectivamente. El señor Coleman acaba de recibir el pago de una de las cuentas vencidas ¿Cuál es la probabilidad de que la petición de pago se haya hecho

1. ¿Personalmente?

P(Per | Pagó) = P(Per) x P( Pagó | Per) / P(Per) x P( Pagó | Per) + P(Tel) x P( Pagó | Tel) + P(Correo) x P( Pagó | Correo) = 0.70 x 0.75 / (0.70 x 0.75) + ( 0.20 x 0.60) + ( 0.10 x 0.65) = 0.12 / 0.71 = 0.739

1. ¿Por teléfono? P(Tel | Pagó) = 0.12 / 0.71 = 0.169
2. ¿Por correo? P(Correo | Pagó) = 0.065 / 0.71 = 0.092

Introducción a la Probabilidad y la Estadística Beaver y Mendenhall

Un manufacturero de unidades de aire acondicionado recibe 70% de sus termostatos de la Compañía A, 20% de la Compañía B y el resto de la Compañía C. La experiencia pasada muestra que la compañía A produce 0.5% de termostatos defectuosos, la Compañía B, 1% y la Compañía C, 1.5%. Se seleccionó aleatoriamente una unidad de aire acondicionado de la línea de producción y se encontró que estaba defectuosa.

1. Encontrar la probabilidad de que el termostato defectuoso fue producido por la Compañía A
2. Encontrar la probabilidad de que el termostato defectuoso fue producido por la Compañía B
3. Encontrar la probabilidad de que el termostato defectuoso fue producido por la Compañía C

P(A | D) = P(A) * P(D | A) / P(A) * P(D | A) + P(B) * P(D | B) + P(C) * P(D | C)

P(A | D) = 0.7 * 0.005 / (0.7 *0.005) + (0.2 * 0.010) + ( 0.1 * 0.015)

P(A| D) = 0.0035 / 0.0035 + 0.0020 + 0.0015 = 0.0035 / 0.007 = 0.5

P(B| D) = 0.0020 / 0.007 = 0.286

P(C| D) = 0.0015 / 0.007 = 0.21

O bien P(C | D) = 1 - 0.50 - 0.286 = 0.21

32 Un fabricante  compra partes a un proveedor en lotes de 10000 piezas. La fracción de piezas defectuosa en un lote es cercana a 0.1%. Ocasionalmente, un mal funcionamiento en la maquinaria del proveedor causa que la fracción de defectuosos salte a 3%. Los registros indican que la probabilidad de recibir un lote con 3% de defectuosos es 0.1.Par comprobar la calidad de los lotes del proveedor, el manufacturero selecciona una muestra aleatoria de 200 partes por lote y observa 3 defectuosos. Si la probabilidad de observar 3 defectuosos cuando la fracción de defectuosos es 0.1% es aproximadamente como 0.0011 y la probabilidad de observar 3 defectuosos cuando la fracción de defectuosos es aproximadamente 0.892 encontrar:

1. La probabilidad de que el porcentaje de defectuosos es 0.1% dado que se observaron 3 defectos en la muestra.
2. La probabilidad de que el porcentaje de defectuosos es 3%, dado que se observaron 3 defectos en la muestra.

P(0.1%|3) = (0.9)*(0.0011) / (0.9)*(0.0011) + (0.1)*(0.0892) = 0.00099 / 0.00991 = 0.0999

P(3%|3) = 0.00892 / 0.00991  =0.9001

Estadística para Administración y Economía Anderson

4. 39. Las probabilidades previas de los eventos A1 yA2 son P(A1)= 0.40 y P(A2) = 0.60. Sabe también que

P(A1yA2)= 0. Suponga que P(B | A1) = 0.20 y P(B | A2) = 0.05.

a. ¿A1 yA2 son eventos mutuamente excluyentes? Explique.

b. Calcule P(A1 y B) y P(A2 y B).

 c. Calcule P(B).

d. Emplee el teorema de Bayes para calcular P(A1 |B) y P(A2 |B).

4. 40. Las probabilidades previas de los eventos A1,A2 y A3 son P(A1) = 0.20, P(A2) = 0.50 y P(A3) = 0.30. Las probabilidades condicionales del evento B dados los eventos A1,A2 y A3 sonP(B| A1) = 0.50, P(B | A2) = 0.40 y P(B | A3) = 0.30.

 a. Calcule P(B y A1), P(B y A2) y P(B y A3).

b. Emplee el teorema de Bayes, para calcular la probabilidad posterior P(A2|B).

c. Use el método tabular para emplear el teorema de Bayes en el cálculo de P(A1 |B), P(A2 |B) y P(A3 |B).

4.41 10ª ed Una empresa de consultoría se ha presentado a un concurso para un gran proyecto de investigación. Inicialmente la empresa pensó que tenía una oportunidad  de 50% de obtener el contrato. Sin embargo la dependencia a la que al fue presentada la propuesta ha solicitado más información al respecto. Por la experiencia se sabe que la dependencia solicitó información adicional en  el 75% de las propuestas aceptadas y en el 40  %de las rechazadas.

1. ¿Cuál es la probabilidad previa de tener éxito (esto es antes de solicitar la información adicional)? P(éxito) = 0.5
2. ¿Cuál es la probabilidad condicional de tener una solicitud de informes adicionales, dado que al final la oferta será seleccionada? P = 0.75
3. Calcule la probabilidad posterior de que la oferta tenga éxito dado que se ha recibido información adicional.

P(éxito | info) = 0.5 x 0.75 / [(0.5 x 0.75) + (0.5 x .40)] = 0.375 / 0.575 = 0.652

4.42 10ª ed Un banco local revisa su política de tarjetas de crédito, con el objetivo de cancelar algunas de ellas. En el pasado, aproximadamente el 5% de los tarjetahabientes ha dejado de pagar sin que el banco haya podido recuperar la deuda. En consecuencia, la gerencia estableció que hay una probabilidad previa de 0.05 de que un trajetahabiente incurra en cartera vencida. Además, el banco ha visto que la probabilidad de que un cliente se atrase en uno o más pagos mensuales es de 0.2. Naturalmente, la probabilidad de atraso en uno o más pagos para los clientes que incurren en cartera vencida es 1.

1. Si un cliente se atrasa en un pago mensual calcule la probabilidad posterior de que el cliente incurra en cartera vencida.
2. Al banco le gustaría cancelar la línea de crédito de un cliente si la probabilidad de que incurra en cartera vencida es mayor de 0.20. ¿Debe cancelarse una línea si un cliente se atrasa en un pago mensual¿ ¿Por qué si o por qué no?  

P(c. vencida | atraso) = P (c. vencida) x P(atraso | vencida) / [P (c. vencida) x P(atraso |vencida) + P(cte. regular) x P(atraso | regular)]  

P(c. vencida | atraso) = 0.05 x 1.0 / [(0.05 x 1.0) + (0.95 x 0.20)] = 0.05 / 0.24 = 0.21

Si porque excede el 0.20

4.43. 10ª ed En los automóviles pequeños el rendimiento de la gasolina es mayor, pero no son tan seguros como los coches grandes. Los automóviles pequeños constituyen 18% de los vehículos en circulación, pero en accidentes con automóviles pequeños se registraron 11 898 víctimas mortales en uno de los últimos años (Reader´s Digest, mayo de 2000). Suponga que la probabilidad de que un automóvil pequeño tenga un accidente es 0.18. La probabilidad de que en un accidente con un automóvil pequeño haya una víctima mortal es 0.128 y la probabilidad de que haya una víctima mortal si el automóvil no es pequeño es 0.05. Usted se entera de un accidente en el que hubo una víctima mortal. ¿Cuál es la probabilidad de que el accidente lo haya tenido un automóvil pequeño?

4.44. La American Council of Education informa que en Estados Unidos 47% de los estudiantes que ingresan en la universidad terminan sus estudios en un lapso de cinco años (Associated Press, 6 de mayo de 2002). Suponga que en los registros de terminación de estudios encuentra que 50% de los estudiantes que terminan sus estudios en cinco años son mujeres y 45% de quienes no terminan sus estudios en cinco años son mujeres. Los estudiantes que no terminan sus estudios en cinco años son estudiantes que han abandonado sus estudios o que están por terminarlos.

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