Funcion Exponencial Y Logaritmica

1. DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL.

Es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función se define como el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural. La función exponencial ex puede ser definida como una serie de potencias.

2. PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL.

• Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distinta a e)

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3. GRÁFICAS DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL.

4. DERIVADAS DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL.

ex es su propia derivada . Es la única función con esa propiedad (sin tomar en cuenta la multiplicación de la función exponencial por una constante). Otras formas de expresar lo anterior:

• La pendiente del gráfico en cualquier punto es la altura de la función en ese punto.

• La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x.

• La función es solución de la ecuación diferencial .

Si la base de la función exponencial es cualquier número real a mayor que 0, entonces su derivada se puede generalizar así:

Donde la función ln(a) es el logaritmo natural de a. En el caso particular de a = e resulta que ln(e) = 1 y por lo tanto .

5. DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

6. PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.

• El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:

• La derivada logarítmica de un producto es la suma de las derivadas logarítmicas de los factores (cuando las mismas están definidas).

Regla de Leibniz

• La derivada logarítmica de la función recíproca de una función es el negado de la derivada logarítmica de la función:

• La derivada logarítmica de un cociente es la diferencia de las derivadas logarítmicas del dividendo y del divisor:

En la misma forma que el logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos del dividendo y del divisor.

• La derivada logarítmica de una potencia (con exponente real constante), la misma es el producto del exponente y de la derivada logarítmica de la base:

El logaritmo de una potencia es el producto entre el exponente y el logaritmo de la base.

7. GRÁFICAS DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.

Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1er y 3er cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.

8. DERIVADAS DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.

La idea de la derivada logarítmica está muy relacionada con el método del factor de integración para ecuaciones diferenciales de primer orden. Utilizando una notación en de operadores, se tiene:

D = d/dx

Y sea M el operador de multiplicación por alguna función G(x). Entonces

M−1DM

Puede ser escrito (por la regla del producto) como

D + M*

Donde M* ahora es el operador de multiplicación por la derivada logarítmica

G′/G.

En la práctica tenemos un operador tal que

D + F = L

Y deseamos resolver ecuaciones del tipo

L(h) = f

Para la función h, conocida f. Por lo que el problema queda reducido a resolver

G′/G = F

Que tiene la siguiente solución

exp(∫F)

Con cualquier integral indefinida de F.

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