Función logarítmica

Función logarítmica:

Función: En matemáticas, una función, aplicación o mapeo es una relación entre dos conjuntos de objetos cualesquiera, que a cada elemento del primer conjunto le asigna un único objeto en el segundo. Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero):

Logaritmo de un número —en una base determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.

De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de lamultiplicación la división, la logaritmación es la operación inversa a la exponenciación.

Función logarítmica:

La geología como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logarítmicas para el cálculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud R de un terremoto está definida como R= Log (A/A0) en la escala de Richter, donde A es la intensidad y A0 es una constante. (A es la amplitud de un sismógrafo estándar, que está a 100 kilómetros del epicentro del terremoto).

Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta utilizan ciertos cálculos de carácter logarítmico. La ecuación logarítmica les permite determinar la brillantez y la magnitud.

En la física la función logarítmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el cálculo del volumen "L" en decibeles de un sólido, para el cual se emplea la siguiente ecuación L= 10 . Log (I/I0) , donde I es la intensidad del sonido (la energía cayendo en una unidad de área por segundo), I0 es la intensidad de sonido más baja que el oído humano puede oír (llamado umbral auditivo). Una conversación en voz alta tiene un ruidode fondo de 65 decibeles.

El logaritmo en base b de un número a es igual a N, si la base b elevada a N da como resultado a.

Logb a = N si bN = a

Notación logarítmica

Notación exponencial

Logaritmos:

Dado un número real a positivo, no nulo y distinto de 1, (a > 0; a ¹ 0; a ¹ 1), y un número N positivo y no nulo (N > 0; N ¹ 0), se llama logaritmo en base a de N al exponente x al que hay que elevar dicha base para obtener el número.

Para indicar que x es el logaritmo en base a de N se escribe:

logaN = x

y se lee «logaritmo en base a de N es igual a x».

Por lo tanto, logaN = x (notación logarítmica) equivale a decir que ax = N

(notación exponencial).

Notación logarítmica Notación exponencial:

Consecuencias de la definición de logaritmo

1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: loga 1 = 0, ya que a0 = 1

2. El logaritmo de un número igual a la base es 1: loga a = 1, ya que a1 = a

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: loga am = m, ya que am = am

4. No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo o cero.

5. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0<N<1, es negativo si la base a del logaritmo es a>1.

6. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0<N<1, es positivo si la base a del logaritmo es a<1.

7. El logaritmo de un número N>1 es positivo si la base es a>1.

Así, log3 9 = 2; ya que 32 = 9

8. El logaritmo de un número N>1 es negativo si la base es a<1.

Propiedades de los logaritmos

1. Logaritmo de un producto

El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de ellos.

loga(X • Y)= loga X + loga Y

Demostración:

Sea loga X = x; esto significa que ax = X.

Sea loga Y = y; esto significa que ay = Y.

loga(X • Y)= loga (ax • ay) = loga ax+y = x + y = loga X + loga Y

Este resultado se puede generalizar para más de dos factores.

Si X1, X2, X3, ..., Xn son n números reales, positivos y no nulos,

loga(X1 • X2 ... Xn)= loga X1 + loga X2 + ... + loga Xn

Logaritmo de un cociente:

El logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

Demostración:

Sea loga X = x; esto significa que ax = X

Sea loga Y = y; esto significa que ay = Y

Logaritmo de una potencia:

El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia.

loga Xn = n loga X

Demostración:

Sea loga X = x; esto significa que ax = X.

loga Xn = loga (ax)n = loga anx = nx = n loga X

Logaritmo de una raíz:

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido entre el índice de la raíz.

Demostración:

Este

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