Funciones Exponencial Y Logarítmica

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2.1 FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

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INTRODUCCIÓN

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En este capítulo, se presentan dos funciones de gran importancia en la matemática, como son: la función exponencial y la función logarítmica.

Históricamente, los exponentes fueron introducidos en matemáticas para dar un método corto que indicara el producto de varios factores semejantes, y, con este propósito, solo se consideraron inicialmente exponentes naturales. El estudio de las potencias de base real será dividido en varios casos, de acuerdo con la clase de exponente: un número entero, racional o, en general, un número real .

2.1 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

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Definición.

Sea un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia se llama función exponencial de base a y exponente x.

Como para todo ,la función exponencial es una función de en .

En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la función exponencial.

2.1.1 Teorema (Leyes de los Exponentes)

Sean a y b reales positivos y x,y ,entonces:

1.

2.

3.

4.

5. .

6 .

Cuando a > 1 ,si x < y, entonces, .Es decir, cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial

de base a es estrictamente creciente en su dominio.

Cuando 0 < a < 1, si x < y , entonces, .

Esto significa que la función exponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en

su dominio.

.

10.Si 0< a < b ,se tiene:

.

Esta propiedad permite comparar funciones exponenciales de diferentes bases.

11. Cualquiera que sea el número real positivo ,existe un único número real tal que

. Esta propiedad indica que la función exponencial es sobreyectiva.

Cuando x e y son enteros, los propiedades enunciadas anteriormente pueden demostrarse usando las definiciones y el teorema 1. Para el caso en el cual x e y son racionales, la demostración utiliza la definición y el teorema 2. Para el caso general, es decir, cuando x e yson reales, la demostración utiliza elementos del análisis real.

2.1.2 Gráfica de la Función Exponencial

En relación con las propiedades 7 y 8, enunciadas en el teorema, es conveniente hacer algunos comentarios adicionales.

En primer lugar, en las figuras 1 y 2, aparecen las gráficas de algunas funciones exponenciales de base a > 1 (fig. 1) y de base a < 1 (fig. 2).

Note que cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial (fig.1) no está acotada superiormente. Es decir , crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene al cero como extremo inferior. Esto es , tiende a cero(0), cuando x toma valores grandes pero negativos.

Igualmente, cuando la base a < 1, la función exponencial (fig.2) no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valores grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así, crece sin límite, al tomar x valores grandes, pero negativos y tiende a cero, cuando la variable x toma valores grandes positivos.

El hecho de ser la función exponencial con a > 1, estrictamente creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la función exponencial es inyectiva en su dominio.Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la función inversa ( función logarítmica), que se presentan en la próxima sección.

En relación con la propiedad 9, en un sentido, se deduce fácilmente de la definición de función; y, en otro, del hecho de ser la función exponencial inyectiva.

Observación.

Cuando a = e ,donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras decimales, es e = 2.7182818284….,la función exponencial ,se llama: función exponencial de base e y, frecuentemente, se denota por Exp( x ) = .

2.1.3 Las Funciones Hiperbólicas

En algunos problemas de Física e Ingeniería, se presentan ciertas combinaciones de las funciones y que por su interés y características especiales merecen ser consideradas con algún tratamiento. Tales combinaciones reciben el nombre de funciones hiperbólicas.

Aquí solamente, se definirán y presentarán algunas identidades básicas que las relacionan.

La función COSENO HIPERBÓLICO, denotada por coshx, se define:

,

La función SENO HIPERBÓLICO, denotada por senhx , se define:

,

A partir de éstas, se definen las funciones: TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y COSECANTE HIPERBÓLICA, de la siguiente manera:

A partir de la definición de las funciones hiperbólicas, es fácil demostrar, y se deja como ejercicio para el lector, las siguientes identidades con funciones hiperbólicas:

1.

2.

3.

4.

5.

6. senh2x =2senhx coshx

8.

9.

10.

11.

12.

FUNCIONES CUADRÁTICAS

ACTIVIDADES DE INTRODUCCIÓN

1. Si en un cuadrado aumentamos en 6 unidades dos lados paralelos obtenemos un rectángulo. Calcula el área del rectángulo en función del lado x del cuadrado.

2. Una mujer tiene un estanque rectangular de 5x3 metros. Quiere hacer un camino alrededor del estanque como muestra el siguiente dibujo: . La anchura del camino ha de ser constante en todo el contorno.

Llama x a la anchura constante del camino.¿Cuál será el área A del camino?

Calcula los valores de A cuando x es 0, 1, 2, 3 y 4. Escribe los valores en una tabla.

Dibuja unos ejes y dibuja los puntos (x, A).

Si el área del camino ha de ser de 30 m2 , utiliza la gráfica y averigua el ancho x del camino.

¿Para qué valor de x es A = 100?

Actividad resuelta

3. El director de un teatro estima que si cobra 30 € por localidad, podría contar con 500 espectadores y que cada bajada de 1 € le supondría 100 personas más. Calcula las ganancias obtenidas en función del número de bajadas del precio.

Observa la tabla:

euros descuento 0 1 2 x

Precio 30 30-1 30-2 30-x

Nº espectadores 500 500+100.1 500+100.2 500+ 100x

Ingresos 30.500 (30-1)•(500+100.1) (30-2)•(500+100.2) (30-x)•(500+100.x)

Los ingresos obtenidos son

siendo x el nº de euros de descuento, en el precio de la entrada.

Una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma f(x) = a x2 + b x + c, donde a, b y c son números cualesquiera, con la condición de que a sea distinto de 0 .

Las funciones f(x) = x2 + 6x, g(x) = x2 + 16 y G(x) = - 100 x2 + 2500 x + 15000

que se corresponden con las tres primeras actividades, son ejemplos de funciones cuadráticas.

Gráfica de las funciones cuadráticas

La función cuadrática más sencilla es f(x) = x2 cuya gráfica es:

x -3 -2 -1 -0'5 0 0'5 1 2 3

f(x) = x2 9 4 1 0'25 0 0'25 1 4 9

Esta curva simétrica se llama parábola.

Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma.

Dibujemos la gráfica de f(x) = x2 -2 x - 3.

x -1 0 1 2 3 4

f(x) 0 -3 -4 -3 0 5

Completando la gráfica obtengo:

Actividades resueltas

4. Dada la parábola y = x2 - 4 x + 3, determina con precisión las coordenadas de los puntos de la figura:

a. Del punto A(x,y) conocemos que x = 3'5. Como A es un punto de la parábola, sus coordenadas cumplirán la ecuación, es decir, y = 3'5 2 - 4•3'5 + 3 = 1'25. Por tanto, A = (3'5,1'25).

b. Del punto B(x,y) conocemos que x = 7. Como B no pertenece a la parábola, no disponemos de ninguna relación que nos permita deducir y en función de x: no es posible conocer con precisión las coordenadas de B.

c. El punto C(x,y) está situado sobre el eje de ordenadas, luego x = 0. Como también es un punto de la parábola, verificará y = 02 - 4•0 + 3 = 3 .Luego C = (0,3).

d. D = (x,5) pertenece a la parábola. Sustituyendo y por 5 en la ecuación de la parábola:

, que nos proporciona las soluciones aproximadas x = -0'45 y x = 4'45 . Observando la gráfica se concluye que el valor adecuado es el segundo (¿por qué?). Luego D = (4'45,5).

e. Los puntos E y F pertenecen al eje OX . Sus coordenadas serán de la forma (x,0) y por ser de la parábola verificarán la ecuación de 2º grado x2 - 4x + 3 = 0 , cuyas soluciones son x = 1 y x = 3. Por tanto, los puntos serán E = (1,0) y F = (3,0).

f. Por la forma simétrica de la parábola, la abscisa de G = (x,y) es el punto medio del segmento , es decir, . Sustituyendo este valor en la ecuación de la parábola, obtenemos su segunda coordenada y = 22 - 4•2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. Luego G = (2,-1).

g. Calculemos las coordenadas del punto H´(x,y) de la parábola que está "justo encima" de H.

Como x = 5, entonces y = 52 - 4•5 + 3 = 25 - 20 + 3 = 8 , es decir, H´= (5,8). H tiene igual abscisa 5 y su ordenada es 6 unidades menos

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