Función exponencial, función logarítmica

FUNCIÓN EXPONENCIAL.

Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma f(x) = bx, en donde la base b, es una constante y el exponente la variable independiente.

La definición de función exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente de uno (b>0 y b≠1). La condición que b sea diferente de uno se impone, debido a que al reemplazar a b por 1, la función bx se transforma en la función constante f(x) = 1.

El dominio de la función exponencial está formado por el conjunto de los números reales y su recorrido está representado por el conjunto de los números positivos.

Ejemplo: graficar la función exponencial de base igual a dos.

X -3 -2 -1 0 1 2 3

F(x) 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8

Ejemplo: graficar y=f(x)= (1/2) x

X -3 -2 -1 0 1 2 3

F(x) 8 4 2 2 1/2 1/4 1/8

Observaciones para tener en cuenta y no olvidar…

La función exponencial existe siempre para cualquier valor de la variable independiente x.

Toma valores positivos para cualquier valor de x.

El dominio de la función es todo el conjunto de los números reales.

Todas las funciones pasan por el punto (0,1).

Las gráficas de las funciones de la forma f(x)=bx, con b>1 son crecientes.

Las gráficas de las funciones de la forma f(x)=bx, con 0<b<1 son decrecientes.

La definición exige que la base sea positiva y diferente de uno.

Si b=0 la función se transforma en la función constante 0.

Propiedades de la función exponencial.

La función aplicada al valor cero es siempre igual a 1:

f (0) = b0 = 1.

La función exponencial de 1 es siempre igual a la base:

f (1) = b1 = b.

La función exponencial de una suma de valores es igual al producto de la aplicación de dicha función aplicada a cada valor por separado.

f (x + x’) = bx+x’= bx • bx’ = f (x) • f (x’).

La función exponencial de una resta es igual al cociente de su aplicación al minuendo dividida por la función del sustraendo:

f (x – x’) = bx-x’ = bx/bx’ = f (x)/f (x’).

Comportamiento de la función.

En las gráficas se puede ver como al multiplicar por una constante k obtenemos y=k•bx y el punto de corte con el eje Y es (0, k). Al sumar (o restar) una constante a resultando y=k•bx+a la gráfica se desplaza hacia arriba (o hacia abajo) dependiendo de las unidades y la asíntota horizontal pasa a ser y=a.

Representa y estudia las funciones.

a) f(x)=4•2x

b) f(x)=2•3-x+1

FUNCIÓN LOGARÍTMICA.

La función logarítmica es la función inversa de la función exponencial y se denota de la siguiente manera: 〖y=〖log〗_a〗⁡x, con a>0 ^ a≠1.

X 0,125 0,25 0,5 1 2 4 8

f(x) -3 -2 -1 0 1 2 3

En los siguientes gráficos se puede ver cómo cambia la gráfica al variar a.

El dominio son los reales positivos excepto el 1.

Es continua.

Si a>1 la función es creciente y si 0<a<1 es decreciente.

El eje y es asíntota.

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