Geometría Analítica

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLÁN

“POR MI RAZA HABLARÁ EL ESPÍRITU”

MATERIA:

Geometría Analítica

TEMA:

Proyecto Final

SUPERFICIES

SUPERFICIE ESFERICA

La superficie esférica se define como el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de un punto fijo. La distancia constante se llama RADIO y el punto fijo CENTRO.

La ecuación de la superficie esférica cuyo centro es el punto (h, k, l)y cuyo radio es la constante “r” es : (x - h)2 + (y - k)2 + (z - l)2 = r2…(1)

La superficie esférica cuyo centro es el origen y cuyo radio es la contante “r” tiene por ecuación: x2 +y2 + z2 = r2.

La ecuación (1) se conoce como la forma ordinaria de la ecuación de la esfera. Si desarrollamos esta ecuación y ordenamos los términos, tenemos una ecuación de la forma:

x2+y2 + z2 +Gx + Hy + Iz + K = 0… (2).

La ecuación (2) es la llamada forma general de la ecuación de la esfera. Contiene cuatro constantes arbitrarias independientes; por tanto, una superficie esférica queda perfectamente determinada por cuatro condiciones independientes. Así, por ejemplo, cuatro puntos no coplanares determinan una superficie esférica.

Ecuación de la esfera (centrada en el origen O):

x2 + y2 + z2 = R2

siendo R el radio de la esfera centrada en el origen.

Ecuación de la esfera centrada en un punto P(a,b,c):

(x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2

SUPERFICIE CILINDRICA

Las superficies cilíndricas son superficies generadas por una recta, cuando se desplaza a través de una curva plana, manteniéndose siempre paralela a sí misma.

A dicha recta se la llama generatriz de la superficie y a la curva, directriz.

La ecuación de una superficie cilíndrica de directriz G y generatriz d (paralela a u → (u1, u2, u3) y que corta a la directriz en P0(x0, y0, z0)) se obtiene reemplazando en la ecuación de la curva directriz las coordenadas de P0, despejadas de la ecuación de d. Entonces, si las ecuaciones de G y d son:

despejando las coordenadas de P0 y reemplazándolas en la ecuación de G se obtiene:

Eliminando t de las ecuaciones anteriores se obtiene la ecuación de la superficie cilíndrica.

SUPERFICIE CONICA

Ecuación de la superficie cónica:

z2 = x2 + y2 (superficie cónica de revolución; las secciones transversales al eje z son circulares)

* * *

z2 = m x2 + n y2 (superficie cónica general; las secciones transversales al eje z son elípticas)

Elementos de las cónicas:

Superficie: Una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo.

Generatriz: La generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.

Vértice: El vértice es el punto central donde se cortan las generatrices.

Hojas: Las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica de revolución.

Sección: Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.

4.SUPERFICIE DE REVOLUCION

Las Superficies de Revolución que trataremos aquí son aquellas que segeneran al girar 360º una curva perteneciente a uno de los planos coordenadosalrededor de uno de los ejes coordenados.Por ejemplo suponga que se tiene la curva y f z=

(contenida en elplano ZY) y la hacemos girar 360º alrededor del eje y, entonces se forma unasuperficie de revolución, observe la figura:

Sea el área de la parte de la superficie comprendida entre los planos , y . Representemos por la longitud de la gráfica de entre y . Recuerda que . Teniendo en cuenta que el área lateral de un cilindro circular recto es igual a la longitud de la base por la altura, se deduce que:

{ } { }

Por tanto

{ } { }

Tomando límites para deducimos que . Luego el área de la superficie Γ viene dada por .

5. SUPERFICIE CUADRATICA

...