Johannes Kepler

Introducción

Johannes Kepler (1571-1630), astrónomo y filósofo alemán, enunció las tres leyes que llevan su nombre del movimiento planetario, apoyándose en la extensa cantidad de datos obtenidos durante sus años de observación de los planetas.

Estas leyes se ajustaban de manera perfecta a la información astronómica obtenida por Kepler, pero carecían de una demostración matemática formal ya que para la época aun no se contaba aun con las leyes del movimiento en general, si bien ya había un avance grande en Física, faltaba resolver algunos problemas importantes como lo era esa fuerza misteriosa llamada Gravedad.

No fue sino hasta que sir Isaac Newton publico unos de los documentos mas importantes de la historia de la ciencia, Principios matemáticos de la filosofía natural de 1687. En esta publicación estaban enunciadas las tres leyes del movimiento, las que ahora llamamos Leyes de Newton y la más importante y de un logro intelectual sin precedentes para la época, la Ley de gravedad o Ley de gravitación universal. Gracias a que ahora se contaba con una demostración matemática de la fuerza de gravedad y de la fuerza en si, Newton logro describir las leyes de Kepler de forma cuantitativa y dar un paso muy importante en la comprensión del Universo en el que vivimos.

Hoy en día se sabe mucho más de la Gravedad de lo que Newton logro demostrar. El sabia perfectamente que las masas de atraían y que esa fuerza de atracción mantenía a los planetas en orbita alrededor del Sol y hasta encontró una ecuación matemática que describía dicha fuerza, la cual es proporcional al inverso del cuadrado de la distancia que separaba a las masas (1/r2). Pero lo que Newton no lograba comprender era el por qué de dicha fuerza de gravedad, no había manera de explicarlo cualitativamente, físicamente, solo se tenia la ecuación, pero por qué existía esa fuerza, era un misterio hasta la llegada de Einstein el cual demostró la nueva y mas aceptada Ley de gravedad donde interviene lo que llamamos curvatura del espacio tiempo producida por objetos masivos como los planetas o el Sol.

Ahora bien, este documento solo trata las Leyes de Kepler partiendo del uso de la segunda ley del movimiento de Newton y de la ley de gravitación universal. Las ecuaciones obtenidas a través de este análisis son muy precisas y explican el movimiento planetario de forma casi perfecta. Una de las falencias que se descubrieron en el estudio del movimiento planetario empleando la Física Clásica fue lo que hoy se conoce como precesión del perihelio del planeta Mercurio. Esta perturbación en la orbita de Mercurio de se debe a su proximidad al Sol en la cual la curvatura del espacio tiempo es muy notoria. Para este problema se hayo la solución en la teoría de la relatividad general de Einstein.

Mencionamos esto ya que debe quedar claro que las Leyes de Kepler o las Leyes de Newton son precisas dentro de un cierto margen de aplicación y por lo tanto no son universales. Si bien esto es así, los trabajos de Newton, Kepler, Galileo, etc. son, en mi opinión, los más importantes en la historia de la ciencia, estos hombres encontraron una forma de describir el Universo y sentaron las bases del conocimiento científico para que luego los avances y la evolución de las observaciones sigan dando explicación al comportamiento de la naturaleza.

Leyes de Kepler.

En el año 1596, Kepler publica Mysterium Cosmographicum, un trabajo en el cual demuestra la ventaja geométrica de la teoría copernicana y las leyes que llevan su nombre. Estas leyes del movimiento planetario se enuncian de la siguiente manera:

1. Un planeta gira alrededor del Sol describiendo una órbita elíptica con el Sol ubicado en uno de los focos.

2. Una recta imaginaria que une al Sol con el planeta, barre áreas iguales en tiempos iguales.

3. El cuadrado del periodo orbital del planeta es proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita.

Deducción de la primera ley

Ponemos como título deducción y no demostración porque queremos tratar de explicar el movimiento planetario teniendo en cuenta de que no sabemos nada acerca de su naturaleza. Luego haremos la comparación con las leyes de Kepler, afirmando su veracidad.

Primero vamos a partir de la ley de gravitación universal de Newton ya que vamos a estudiar la interacción entre dos cuerpos, en este caso el Sol y un planeta cualquiera que orbita alrededor de el. Vamos a tener en cuenta que no existe interacción entre estos cuerpos con el resto de los objetos del Universo, dicho de otra manera que la fuerza de atracción producida por los demás objetos es despreciable.

Colocando cada término como corresponde definimos la fuerza de gravedad actuante sobre el planeta (y sobre el propio Sol) en forma escalar y en forma vectorial. Para ello consideramos el siguiente sistema de coordenadas donde el Sol esta ubicado en el origen, esto nos permitirá visualizar los vectores que entran en juego y definir la ecuación vectorial de la fuerza gravitatoria.

Lo primero que puede llamar la atención es que usamos las tres dimensiones, o sea los ejes X, Y, Z. Esto es porque la finalidad de este trabajo es demostrar las leyes del movimiento haciendo de cuenta que no sabemos nada de cómo se mueven en realidad los astros. Por este motivo, aun no podemos afirmar si la orbita de un planeta es plana o no. ¿Por que lo planteo así? Por el simple hecho de sentir al menos una pequeña sensación de lo que pudo sentir Isaac Newton al aplicar sus leyes a los planetas y demostrar las de Kepler.

En el grafico tenemos:

Ahora podemos escribir la fuerza de gravedad sobre el planeta en forma escalar y vectorial, esta última será multiplicando la fuerza escalar por el vector unitario negativo. Ordenando, tenemos:

La fuerza neta sobre el planeta es igual a esta última y a su vez es igual a la segunda ley del movimiento de Newton, igualando nos queda la aceleración actuante:

Como podemos observar, la aceleración actuante es paralela al vector unitario y por lo tanto, también al vector posición.

Teniendo en cuenta esto último, podemos demostrar que la orbita es una curva

...