LA TEORÍA FRACTAL

LA TEORÍA FRACTAL :

“La Teoría Fractal es la disciplina científica que investiga la naturaleza de los fractales y su potencial aplicación.”

En la naturaleza hay abundantes ejemplos de formas pertenecientes a la geometría euclidiana (hexágonos, cubos, tetraedros, cuadrados, triángulos, etc.) pero su vasta diversidad también produce objetos que eluden la descripción euclidiana. En esos casos los fractales nos proporcionan un mejor medio de explicación.

La geometría euclidiana es muy útil para la descripción de objetos tales como cristales o colmenas, pero no encontramos en ella objetos que puedan describir las palomitas de maíz, los productos horneados, la corteza de un árbol, las nubes, ciertas raíces o las líneas costeras.

Los fractales permiten modelizar, por ejemplo, objetos tales como una hoja de helecho o un copo de nieve. Con la incorporación del azar en la programación es posible, por medio de la computadora, obtener fractales que describen los flujos de lava y el terreno montañoso.

¿Qué es un Fractal?

Un fractal es una figura, que puede ser espacial o plana, formada por componentes infinitos. Su principal característica es que su apariencia y la manera en que se distribuye estadísticamente no varía aun cuando se modifique la escala empleada en la observación.

Los fractales son, por lo tanto, elementos calificados como semi geométricos (por su irregularidad no pertenecen a la geometría tradicional) que disponen de una estructura esencial que se reitera a distintas escalas.

El fractal puede ser creado por el hombre, incluso con intenciones artísticas, aunque también existen estructuras naturales que son fractales (como los copos de nieve).

De acuerdo a Mandelbrot, los fractales pueden presentar 3 clases diferentes de autosimilitud, lo que significa que las partes tienen la misma estructura que el conjunto total:

* autosimilitud exacta, el fractal resulta idéntico a cualquier escala;

* cuasiautosimilitud, con el cambio de escala, las copias del conjunto son muy semejantes, pero no idénticas;

* autosimilitud estadística, el fractal debe tener dimensiones estadísticas o de número que se conserven con la variación de la escala.

Resumen de las propiedades de los fractales:

Dimensión no entera.

Como se mostrará en el apartado siguiente la dimensión de un fractal no es un número entero sino un número generalmente irracional.

Compleja estructura a cualquier escala.

Los fractales muestran estructuras muy complejas independientemente de la escala a la cual lo observemos.

Infinitud.

Se consideran infinitos ya que a medida que aumentamos la precisión del instrumento de medición observamos que el fractal aumenta en longitud o perímetro.

Autosimilitud en algunos casos.

Existen fractales plenamente autosimilares de manera que el todo está formado por pequeños fragmentos parecidos al todo.

Los fractales poseen unas características determinantes:

• Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.

• Posee detalle a cualquier escala de observación.

• Es autosimilar (exacta, aproximada o estadísticamente).

• Se define mediante un simple algoritmo recursivo (Iteración)

La característica que fue decisiva para llamarlos fractales es su dimensión fraccionaria. No tienen dimensión uno, dos o tres como la mayoría de los objetos a los cuales estamos acostumbrados. Los fractales tienen usualmente una dimensión que no es entera, ni uno ni dos, pero muchas veces entre ellos.

De hecho, la noción de dimensión fractal (fraccional) provee una manera de medir lo rugosa es una curva. Normalmente consideramos que los puntos tienen dimensión 0, las líneas 1, las superficies 2 y los volúmenes 3. Sin embargo, una curva rugosa que recorre una superficie puede ser tan rugosa que casi llene la superficie en la que se encuentra. Superficies como el follaje de una árbol o el interior de un pulmón pueden efectivamente ser tridimensionales. Podemos, entonces, pensar de la rugosidad como un incremento en la dimensión: una curva rugosa tiene una dimensión entre 1 y 2, y una superficie rugosa la tiene entre 2 y 3

¿Qué significa realmente dimensión?

La geometría tradicional o euclidiana distingue las siguientes dimensiones: -1, 0, 1, 2, 3.

Dimensión -1: Realmente esta dimensión representa el vacío.

Dimensión 0: Un punto no tiene dimensión alguna porque no tiene longitud, anchura o profundidad.

Dimensión 1: Una línea (formada por infinitos puntos) es unidimensional ya que sólo tiene longitud. Si dividimos por la mitad la medida de la longitud de un objeto unidimensional, obtenemos dos objetos pequeños de idéntica apariencia al objeto original

Dimensión 2: Un plano es bidimensional porque tiene longitud y anchura. Si lo dividimos por su longitud y su anchura obtenemos 4 planos.

Dimensión 3: Un cubo es tridimensional ya que tiene longitud, anchura y profundidad. Si dividimos exactamente por la longitud, la anchura y la profundidad obtenemos 8 cubos más pequeños.

De estas observaciones se puede concluir que la duplicación ocurre a razón exponencial de 2, 4, 8 y así sucesivamente. Aritméticamente, estos números pueden expresarse como:

Siendo P las porciones obtenidas del número de divisiones n elevado a la dimensión D.

Si examinamos el valor del exponente en cada caso, encontramos que éste es idéntico al valor de la dimensión de cada objeto: 1, 2 y 3. Así pues esta forma de calcular la dimensión de un objeto resulta totalmente válida.

¿Pero qué pasa cuando medimos la dimensión de un fractal?

Tomando de ejemplo el triángulo de Sierpinski . Este fractal se forma descomponiendo un triángulo equilátero

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