LA TEORÍA FRACTAL

LA TEORÍA FRACTAL :

“La Teoría Fractal es la disciplina científica que investiga la naturaleza de los fractales y su potencial aplicación.”

En la naturaleza hay abundantes ejemplos de formas pertenecientes a la geometría euclidiana (hexágonos, cubos, tetraedros, cuadrados, triángulos, etc.) pero su vasta diversidad también produce objetos que eluden la descripción euclidiana. En esos casos los fractales nos proporcionan un mejor medio de explicación.

La geometría euclidiana es muy útil para la descripción de objetos tales como cristales o colmenas, pero no encontramos en ella objetos que puedan describir las palomitas de maíz, los productos horneados, la corteza de un árbol, las nubes, ciertas raíces o las líneas costeras.

Los fractales permiten modelizar, por ejemplo, objetos tales como una hoja de helecho o un copo de nieve. Con la incorporación del azar en la programación es posible, por medio de la computadora, obtener fractales que describen los flujos de lava y el terreno montañoso.

¿Qué es un Fractal?

Un fractal es una figura, que puede ser espacial o plana, formada por componentes infinitos. Su principal característica es que su apariencia y la manera en que se distribuye estadísticamente no varía aun cuando se modifique la escala empleada en la observación.

Los fractales son, por lo tanto, elementos calificados como semi geométricos (por su irregularidad no pertenecen a la geometría tradicional) que disponen de una estructura esencial que se reitera a distintas escalas.

El fractal puede ser creado por el hombre, incluso con intenciones artísticas, aunque también existen estructuras naturales que son fractales (como los copos de nieve).

De acuerdo a Mandelbrot, los fractales pueden presentar 3 clases diferentes de autosimilitud, lo que significa que las partes tienen la misma estructura que el conjunto total:

* autosimilitud exacta, el fractal resulta idéntico a cualquier escala;

* cuasiautosimilitud, con el cambio de escala, las copias del conjunto son muy semejantes, pero no idénticas;

* autosimilitud estadística, el fractal debe tener dimensiones estadísticas o de número que se conserven con la variación de la escala.

Resumen de las propiedades de los fractales:

Dimensión no entera.

Como se mostrará en el apartado siguiente la dimensión de un fractal no es un número entero sino un número generalmente irracional.

Compleja estructura a cualquier escala.

Los fractales muestran estructuras muy complejas independientemente de la escala a la cual lo observemos.

Infinitud.

Se consideran infinitos ya que a medida que aumentamos la precisión del instrumento de medición observamos que el fractal aumenta en longitud o perímetro.

Autosimilitud en algunos casos.

Existen fractales plenamente autosimilares de manera que el todo está formado por pequeños fragmentos parecidos al todo.

Los fractales poseen unas características determinantes:

• Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.

• Posee detalle a cualquier escala de observación.

• Es autosimilar (exacta, aproximada o estadísticamente).

• Se define mediante un simple algoritmo recursivo (Iteración)

La característica que fue decisiva para llamarlos fractales es su dimensión fraccionaria. No tienen dimensión uno, dos o tres como la mayoría de los objetos a los cuales estamos acostumbrados. Los fractales tienen usualmente una dimensión que no es entera, ni uno ni dos, pero muchas veces entre ellos.

De hecho, la noción de dimensión fractal (fraccional) provee una manera de medir lo rugosa es una curva. Normalmente consideramos que los puntos tienen dimensión 0, las líneas 1, las superficies 2 y los volúmenes 3. Sin embargo, una curva rugosa que recorre una superficie puede ser tan rugosa que casi llene la superficie en la que se encuentra. Superficies como el follaje de una árbol o el interior de un pulmón pueden efectivamente ser tridimensionales. Podemos, entonces, pensar de la rugosidad como un incremento en la dimensión: una curva rugosa tiene una dimensión entre 1 y 2, y una superficie rugosa la tiene entre 2 y 3

¿Qué significa realmente dimensión?

La geometría tradicional o euclidiana distingue las siguientes dimensiones: -1, 0, 1, 2, 3.

Dimensión -1: Realmente esta dimensión representa el vacío.

Dimensión 0: Un punto no tiene dimensión alguna porque no tiene longitud, anchura o profundidad.

Dimensión 1: Una línea (formada por infinitos puntos) es unidimensional ya que sólo tiene longitud. Si dividimos por la mitad la medida de la longitud de un objeto unidimensional, obtenemos dos objetos pequeños de idéntica apariencia al objeto original

Dimensión 2: Un plano es bidimensional porque tiene longitud y anchura. Si lo dividimos por su longitud y su anchura obtenemos 4 planos.

Dimensión 3: Un cubo es tridimensional ya que tiene longitud, anchura y profundidad. Si dividimos exactamente por la longitud, la anchura y la profundidad obtenemos 8 cubos más pequeños.

De estas observaciones se puede concluir que la duplicación ocurre a razón exponencial de 2, 4, 8 y así sucesivamente. Aritméticamente, estos números pueden expresarse como:

Siendo P las porciones obtenidas del número de divisiones n elevado a la dimensión D.

Si examinamos el valor del exponente en cada caso, encontramos que éste es idéntico al valor de la dimensión de cada objeto: 1, 2 y 3. Así pues esta forma de calcular la dimensión de un objeto resulta totalmente válida.

¿Pero qué pasa cuando medimos la dimensión de un fractal?

Tomando de ejemplo el triángulo de Sierpinski . Este fractal se forma descomponiendo un triángulo equilátero en 3 triángulos iguales como vemos abajo.

Por tanto, podemos comprobar que este fractal tiene dimensión 1.58496.

Queda así especificado el concepto de dimensión fractal.

Los matemáticos que trabajaron sobre fractales.

Los fractales deben su origen al francés Henri Poincaré (1854-1912). Sus ideas fueron tomadas, más tarde por dos matemáticos, también franceses: Gastón Julia y Pierre Fatou, hacia 1918. Hubo un paréntesis en el estudio de los fractales, que fue renovado a partir de 1974 en IBM y fue fuertemente impulsado por el desarrollo de la computadora digital. En realidad, el término fractal fue acuñado en 1975 por el Dr. Benoit Mandelbrot, de la Universidad de Yale, a quien se considera el padre de la geometría fractal. Su trabajo, que mostraba diversas variantes del conjunto que hoy lleva su nombre, fue publicado el 26 de diciembre de 1980. La aparición de los fractales originó una geometría que puede describir el universo en perpetuo cambio. Según palabras de Mandelbrot: “acuñé el término fractal a partir del adjetivo latino fractus. El verbo latino correspondiente, fragere, significa “romper”: crear fragmentos irregulares.....¡qué apropiado para nuestras necesidades!....que, además de “fragmentado” (como en fracción o refracción) fractus también signifique “irregular” , y que ambos sentidos se preserven en “fractal”. John H. Hubbard, de la Universidad de Cornell, y Adrien Douady, de la Universidad de Paris, en honor a su descubridor, pusieron al conjunto el nombre de Mandelbrot en la década de 1980, mientras trabajaban en las pruebas de diversos aspectos del mismo. Hubbard dice haberse reunido con Mandelbrot en 1979, y haberle mostrado cómo programar una computadora para lograr funciones iterativas. Hubbard admite que Mandelbrot más tarde desarrolló un método superior para generar las imágenes del conjunto. Estas curvas eran llamadas monstruos. Los matemáticos conservadores del siglo XIX consideraban patológicas a estas curvas monstruo. No las aceptaban ni las creían dignas de exploración porque contradecían las ideas matemáticas aceptadas. Por ejemplo,, algunas eran funciones continuas que no eran diferenciables, algunas tenían áreas finitas con perímetros infinitos, y algunas podían llenar por completo el espacio. Los matemáticos del siglo XX tuvieron un serio conflicto para decir quién fue el primero en descubrir el conjunto de Mandelbrot.

Pero ¿qué es un fractal? Es muy complicado dar una definición general, muchas de estas definiciones no se pueden aplicar a todas las familias de fractales existentes. Sin embargo, todos los fractales tienen algo en común, ya que todos ellos son el producto de la iteración, repetición, de un proceso geométrico elemental que da lugar a una estructura final de una complicación aparente extraordinaria. Con esta teoría se han desarrollado ideas tales como las de dimensiones fraccionarias, teorías de la iteración y de la auto-similitud y aplicaciones a la turbulencia. Las aplicaciones de los fractales van desde la lluvia ácida y los zeolitos hasta la astronomía y la medicina, la cinematografía, la cartografía, la economía y muchos más. Según el Dr. Luis Santaló, el nombre de fractal procede de que estudia conjuntos de puntos para los cuales se puede definir, de cierta manera, una dimensión fraccionaria, dimensión que permite medir el grado de complejidad del conjunto, variando desde las curvas corrientes de dimensión uno hasta las curvas que llenan áreas del plano, de dimensión dos. También se han estudiado fractales en el espacio tridimensional y espacios de más dimensiones. En términos matemáticos un fractal es una forma que empieza

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