LAS OPERACIONES EN EL PRIMER CICLO

LAS OPERACIONES EN EL PRIMER CICLO

Sumar no es siempre agregar, ni restar es siempre quitar La construcción del sentido de los conocimientos matemáticos involucra, por lo tanto, diferentes aspectos: la suma y la resta incluyen tanto el dominio de diversas estrategias de cálculo (entre las cuales están los algoritmos) como el reconocimiento del campo de problemas que se resuelven con dichas operaciones. Es posible cuestionarse la clásica distribución de la suma y la resta como “temas de enseñanza” de primer año, la multiplicación como “tema” de segundo y la división de tercero.

Diferentes problemas de suma y resta Los manuales escolares han definido clásicamente la suma y la resta como las acciones de “agregar” y “quitar” Los problemas de estructura aditiva son todos aquellos para cuya resolución intervienen sumas o restas y no pueden estudiarse en forma separada, pues pertenecen a un mismo “campo conceptual”. Vergnaud propone una clasificación de problemas según estén involucrados medidas, estados relativos o transformaciones.

Ejemplo:

Laura tiene 5 figuritas rojas y 3 figuritas verdes. En total tiene 8 figuritas

Laura tiene 5 figuritas y gana 3 en un partido. Ahora tiene 8 figuritas

Laura tiene 5 figuritas y Malena tiene 3 mas que ella. Malena tiene 8 figuritas

En la primera 5 y 3 son medidas de la colección de figuritas, en tanto 8 es la medida de la colección total. En el segundo caso el 5 es la medida de la colección de figuras pero el 3 representa una transformación En la tercera situación, el 5 es la medida de la colección, pero el 3 no representa una medida como la primera, ni una transformación como en la segunda. El 3 en este caso representa una relación entre la cantidad de figuritas de ambas niñas.

Estos 3 problemas desde el punto de vista matemático son equivalentes, pero no lo son desde el punto de vista de los niños.

Muchos problemas para las mismas cuentas

Sobre la base de la distinción entre medidas, estados relativos y transformaciones, se pueden clasificar las relaciones numéricas aditivas en seis categorías.

1. Composición de dos medidas Eje. Laura tiene 5 figuritas y Malena tiene 6. En total tiene 11 figuritas.

A partir de esta situación se encuentran dos problemas: ​si la incógnita es encontrar alguna de las medidas: Eje. Laura y Malena tienen juntas 11 figuritas. si Laura tiene 5, ¿Cuántas tiene Malena? se resuelve con 11­5=6 (este problema se puede resolver procedimiento por conteo a partir de contar 5,6,7,8,9 o bien buscando un número que sumado a 5 de 11. O, si es encontrar el total: Eje. Laura tiene 5 figuritas y Malena tiene 6, ¿Cuántas tiene entre los dos? Esta situación posiblemente no tiene dificultad​.

2. Una transformación opera sobre una medida Eje. “Laura tenía 5 figuritas y ganó 6. Ahora tiene 11” En esta situación se opera una transformación en el tiempo sobre las medidas de la colección. Al principio (estado inicial) Laura tenía 5 figuritas. La transformación ( positiva porque su colección aumento) hace que luego tenga 11 (estado final).

A partir del siguiente esquema: ​ Estado inicial (Ei) ­ Transformación (T)­ Estado final (Ef) se encuentran 6 tipos de problemas diferentes, según que la transformación sea positiva o negativa y según el lugar de la incógnita:

a. Transformación positiva. Incógnita en el estado final. El sentido de la suma que está en juego tampoco es muy complejo para los niños. eje.” Laura tiene 5 figuritas, ganó 6 ¿cuántas tiene ahora?

b. Transformación positiva. Incógnita en el estado inicial. Este caso es averiguar cuánto tenía “ antes de jugar “ qué implica un cambio temporal. Eje. “ laura ganó 6 figuritas. Ahora tiene 11 ¿ Cuántas tenía antes de jugar?

c. Transformación positiva. Incógnita en la transformación. Esta propone un mayor desafío a los alumnos. Es un problema que se resuelve con una resta, aunque se refiere a una transformación positiva.

​ Incógnita en una de las transformaciones. Transformaciones negativas.

"Laura perdió en el primer partido 6 figuritas. Entre el primero y el segundo partido perdió 9 figuritas. ¿ cuántas perdió en el segundo partido? A los niños suena resultarles más complejo encontrar una de las transformaciones que la composición de ambas. Tienen que hacer una resta para calcular la pérdida del segundo partido y no siempre les resulta evidente. Se exige un abordaje específico en el aula a partir de las de resolución de varios problemas similares y la reflexión sobre los mismos ,de tal manera que les permita a los niños reconstruir la situación. Este sentido de la resta se propone para ser " estudiado" en la clase.

Incógnita de la composición. Transformaciones positivas.

"Laura ganó en el primer partido 6 figuritas en el segundo ganó 3 figuritas ¿cuántas ganó en total? Los niños no suelen tener dificultades ,pues hay que sumar dos números positivos.

Transformación negativa. Incógnita en el estado final. Laura tenía 6 figuritas, perdió 3 ¿cuántas tiene ahora? Este problema no genera dificultades a los niños, el sentido de la resta involucrado es de los primeros en ser construidos

Transformación negativa. Incógnita en la transformación. Laura tenía 3 figuritas, después de jugar se quedó con 3, ¿ cuántas perdió jugando? En los primeros años no les es sencillo reconstruir la situación y averiguar que paso en medio.

3. Una relación entre dos medidas Laura tiene 7 figuritas, Malena tiene 6 figuritas más que Laura, Malena tiene 13. Se trata de una relación estática, dado que no hay transformaciones .

Variación en el lugar de la incógnita Laura tiene 7 figuritas, Malena tiene 6 figuritas más, ¿ Cuántas tiene Malena? Variación en el modo de explicar la relación ( más que, menos que ) Laura tiene 7 figuritas, Malena tiene 6 figuritas mas, Malena tiene 13. A partir de la combinación de ambas variaciones pueden surgir dudas.

4. Dos transformaciones se componen para dar lugar a otra transformación. Incógnita en la composición, transformaciones negativas. Laura perdió primero 6 figuritas, luego 3 figuritas, ¿ cuántas perdió en total? En este caso los niños no suelen tener problemas para encontrar la composición de dos transformaciones del mismo tipo Incógnita en una de las transformaciones. transformaciones positivas. "Laura ganó en el primer partido 6 figuritas. Entre el primero y el segundo partido ganó 9 figuritas¿qué pasó en el segundo partido? "un problema de ganar se puede resolver restando" Es posible que también puedan realizar un tanteo con diferentes números, o que precisen realizar una representación gráfica de la situación. Esta operación aparece en la clase como un producto colectivo aunque haber llegado a esta conclusión no implica que en un nuevo problema directamente todos los niños confíen en que la cuenta de restar lo resuelve. Posiblemente, durante un tiempo los niños sólo puedan reconocer la resta a posterior de su resolución.

Incógnita de la composición. Una transformación positiva y una negativa. "Laura perdió el primer partido 6 figuritas en el segundo partido ganó 3figuritas¿que pasó en total?

En este ejemplo deben agregarse dos números de signo contrario. "no puede haber perdido más de lo que ha ganado" No reconocen que puede haber perdido más de lo que ha ganado pues existe un estado inicial de figuritas desconocido. Será necesario analizar qué sucedería con diferentes estados iniciales hipotéticos discutiendo acerca de si es posible o no en cada caso.

Incógnita en una de las transformaciones. Una transformación positiva y una negativa "Laura perdió el primer partido 6 figuritas dice que entre ambos partidos perdió 3 figuritas ¿qué le pasó en el segundo partido? La operación que resuelve el problema es muy simple sin embargo el problema no lo es porque en él está involucrada una compensación entre las ganancias y las pérdidas que dista de ser sencilla. Este problema de suma y resta puede ser propuesto a finales del tercer año con números muy pequeños. Posiblemente utilicen procedimientos diversos para resolverlo.

Una transformación operan sobre un estado relativo.

La hora le debía 6 figuritas a Malena. le devuelve 4. Ahora sólo le debe 2. En el interior de esta clase de situaciones pueden plantearse diferentes problemas según cera transformaciones positivas o negativas y según si se trata de conocer el estado relativo inicial el estado es relativo al final con la transformación que esta operado. No plantearemos aquí todas las posibilidades por qué son similares a las ya analizadas para otras categorías.

6. Dos estados relativos se componen para dar a otro estado relativo Ejemplo: “Laura le debe 6 figuritas a Malena, pero Malena le debe 3 a Laura. Laura entonces le debe solo 3 figuritas a Malena” En esta situación, los estados relativos 6 y 3 se componen y el 3 es el resultado de la compensación entre ambos. En este caso, el cálculo del estado relativo final surge restar 3 a 6, lo cual puede no ser evidente para los niños.

Otro ejemplo: Laura debe 3 figuritas a Malena y 6 figuritas a Carina. En total debe 9 figuritas. Aquí, los estados relativos de Laura se suman porque están vinculados a diferentes personas. Estas situaciones pueden variar si la búsqueda está en uno de los estados relativos o en la composición de ambos y si los estados relativos se complementan o compensan entre sí o no.

Los problemas en el aula: Un trabajo colectivo

La ampliación del tipo de problemas que los niños pueden resolver en la escuela exige un trabajo específico. Los problemas aditivos no constituyen una clase homogénea, presentan una estructuración que se desarrolla durante un largo periodo de tiempo. Seguramente los niños tendrán dificultades para resolver, individualmente muchos problemas. Proponemos, en primera instancia, una fase de trabajo individual en la que es esperable que aparezcan variados procedimientos de resolución y diferentes respuestas al problema. Una vez que los niños han resuelto individualmente o en parejas el problema, se plantea una instancia del trabajo colectivo. En esta fase se comunican las diferentes respuestas al problema y los procedimientos utilizados. El docente provoca luego de un debate para analizar las diferentes respuestas. Es recién en el momento de discusión y de análisis del problema por el conjunto de la clase que puede quedar instalada de solución correcta y posibles modos de resolverlo. El trabajo colectivo es una nueva oportunidad para que los niños reorganicen aquello que saben sobre los problemas. El objetivo de este momento de la clase es que dicho conocimiento sea reinvertido en otros nuevos y para ello será necesario que los niños puedan tomar conciencia de que ha aprendido con este problema.

...