LENGUAJE ALGEBRAICO: LO QUE LA HISTORIA HA UNIDO, NO LO SEPARE LA ESCUELA

DISCURSO ALGEBRAICO. LO QUE LA HISTORIA HA UNIDO, NO LO SEPARE LA ESCUELA.

Por Luis Alberto Ordóñez Ordóñez

Docente. Escuela Normal Superior de Popayán

Resumen

Lenguaje, enseñanza y procesos de aprendizaje, es uno de los seminarios que se desarrollaron dentro del Grupo de Estudios en Lenguas, en su tercera fase. Se desea desarrollar este escrito haciendo alusión a una de las materias que causa dolor de cabeza a los estudiantes en su paso por la escuela, El algebra.

El recorrido que sigue el texto será el siguiente: en un primer momento se hace alusión a las relaciones históricas que se han tejido entre matemáticas y lenguaje, en el caso particular del álgebra; luego, se muestra la forma como se ha asumido las prácticas al interior de la escuela; un tercer momento, enuncia algunas alternativas que se han planteado para mejorar la enseñanza y aprendizaje. Desde la historia y en correspondencia con la etapa del álgebra sincopada, se propone el desarrollo de la expresión oral y escrita, en particular, con la elaboración de enunciados junto a los estudiantes, como una herramienta para ir acercándolos paulatinamente hacia la comprensión del concepto de variable y sus aplicaciones, siempre en el que esté implicada las experiencias y las formas de razonar de los estudiantes.

Palabras claves: historia del álgebra, algebra, dialogo interdisciplinario, expresión oral y escrita.

Introducción

En los diálogos que sostenemos con los estudiantes del programa de formación docente, ellos manifiestan las vicisitudes vividas en su práctica con las matemáticas, casi que al unísono manifiestan la necesidad de mecanizar símbolos, signos y procedimientos, en el caso del algebra. Se sabe que el problema, tiene muchos vértices para el análisis; en este escrito voy a reducir (y simplificar) a dos los cuales se influencian de forma recíproca.

Por un lado, la mecanización de procedimientos algebraicos, sin una base conceptual que le sirva de soporte, producto de una deficiente aprehensión de las herramientas de tipo matemático, unido a una deficiente lectura y comprensión de enunciados de los problemas. Casi siempre se pretende encontrar la fórmula mágica para solucionar cualquier tipo de problema, convirtiendo así los algoritmos en estereotipos o recetas. La dificultad se hace mayor cuando se trata de traducir un enunciado del lenguaje común al lenguaje simbólico y viceversa. Por otro lado, la escisión existente entre lenguaje y matemáticas; las prácticas pedagógicas en el aula se asume una intersección vacía entre sus elementos componentes.

Como docente debo asumir la cuota de responsabilidad por la forma apresurada, aislada y un tanto dogmática con que se asume la enseñanza del álgebra, producto de una visión hermética, excluyente y dogmática en el desarrollo de la acción educativa. Es hermética por cuanto se circunscribe la acción a un trabajo individual y autosuficiente en un área; excluyente en tanto se planea el trabajo y se desarrolla sin tener en cuenta elementos comunes, problemas y situaciones con otras áreas del conocimiento, que pueden solucionarse desde un trabajo colectivo. A su vez la matemática puede convertirse en un dogma, cuando el docente entrega postulados, conceptos y procedimientos, para que los estudiantes los repitan, sin que tengan espacio para el libre juego de ideas. Se plantea la insoslayable e inaplazable necesidad de reflexionar elementos históricos de las disciplinas, en este caso del álgebra. Aunque sabemos que la historia no se repite, y los contextos sociales son diferentes, el camino que se propone, siguiendo a Vinent, (1996. Pág... 90) es el que nos muestra la historia … Quizás conociendo el largo y tortuoso camino seguido por los hombres y mujeres en el desarrollo de sus ideas matemáticas hasta alcanzar su punto de madurez intelectual, podamos reflexionar y recrear nuestras prácticas al interior de la escuela, establecer un diálogo interdisciplinario que posibilite una unidad de acción para detectar, estudiar y enfrentar problemas comunes y porque no, recuperar la condición humana de las ciencias, en particular de las matemáticas.

Algunos textos a los que he podido acceder y las no pocas investigaciones en curso me han dado una idea de la magnitud y de la importancia del tema, de ahí que esta reflexión no pretende originalidad ni mucho menos sentar una posición definitiva; es empezar a recorrer una brecha que otros han abierto, aportando elementos que se encuentran en la práctica y en la reflexión sobre ella, en discusiones con otros pares y los mismos sujetos de la educación. Es meterse al interior del debate, sin rehuirlo, ni descalificar, como mecanismo de defensa.

A. Álgebra: un idilio histórico entre matemáticas y lenguaje

La matemática nació y se nutrió en un ambiente cultural, sin la perspectiva que el contexto cultural nos da, una apreciación correcta del contenido y del estado de la matemática contemporánea es casi imposible. (R. Wilder)

El lenguaje aparece como un instrumento privilegiado para la estructuración mental del mundo por parte del sujeto pero es también el instrumento de una acción estructurante que el mundo ejerce sobre él. El lenguaje lleva en sí la cultura del grupo… (Louis Not)

Las matemáticas pueden considerarse una herramienta que ha acompañado a hombres y mujeres en la solución de diferentes problemas, su historia no puede aislarse de la historia de la humanidad, pues el desarrollo de la una ha avanzado paralelo al desarrollo de la otra, aunque con el tiempo, ellas han alcanzado un lenguaje propio, que a veces reniega de su humilde cuna. Algunos historiadores de la ciencia y de las matemáticas en particular, reconocen en el desarrollo del álgebra tres estadios: El álgebra retórica, el álgebra sincopada y la simbólica.

En el álgebra retórica se acudía al lenguaje común y cotidiano para enunciar, plantear y solucionar problemas; no existía una regla única y regularmente cuando se presentaba un problema similar, se recurría nuevamente a esa larga cadena de razonamientos y procedimientos. Pronto este hecho se convirtió en obstáculo. Se hacía necesario el uso de símbolos diversos o abreviaturas para reemplazar aquellas palabras que se repetían con frecuencia; pero, en el fondo seguía siendo lenguaje cotidiano combinado con símbolos especiales. Aparece entonces el álgebra sincopada. "La sincopada era útil en la medida en que reducía el trabajo material de escribir palabras largas o lectura de argumentaciones algo extensas. Pero no facilitaba el proceso de razonamiento del mismo"(Hull, 1973. Pág. 265). Esta es una etapa de transición, un puente entre el lenguaje común y el lenguaje simbólico; etapa que está asociada al nombre de Diofanto.

"A la muerte de Diofanto desaparece el álgebra. Los matemáticos posteriores siguen pegados a la tradición euclídea, de querer captar los entes matemáticos por intuición y durante tres siglos se pierde el rastro de las nuevas ideas que reaparecen en la India con el tratado de Abuabdala Mohamed el Jorazmi... (Vinent 1961. Pág. 90). Esta fue la obra que sirvió a Francois Vieta y otros, para posteriores investigaciones. Recordemos que Vieta, no introdujo la noción de variable, pues estas han acompañado a hombres y mujeres en su desarrollo no sólo de tipo matemático, sino social.

Los historiadores muestran como varios autores desarrollan sistemas de escritura y de símbolos que se van acercando paulatinamente a un manejo tal como lo hacemos hoy. Cosa, o la incógnita se reemplaza por c, zenso o el cuadrado por z, el cubo por q. Para expresar las potencias hacían multiplicaciones con símbolos, verbigracia Z.Q es X6…el progreso es considerable, no sólo en la práctica y comodidad de la nueva exposición, sino también en el sentido de una concepción nueva de la ecuación… . Esto, nos proporciona una idea de la búsqueda para dar solución a problemas que planteaba en ese tiempo, del refinamiento sucesivo que ha seguido el álgebra para situarse en el punto tal como la conocemos hoy. Varios elementos podemos destacar:

1. Según Francisco Vera (1961. Pág.. 59) el primer tratado sistemático del álgebra se debe a Mohamed el Joarizmi que en su prólogo decía: “Para facilitar las operaciones que se presentan en la vida, y sin otro fin superior”. Lo cual nos indica que esta rama también hace parte de ese gran tronco que hunde sus raíces en las necesidades sociales. Las operaciones de tipo mercantil posibilitó y coadyuvo en el desarrollo de las matemáticas; éstas eran una intermediaria para el buen desenvolvimiento de las personas en estas actividades. El cálculo era una herramienta necesaria para estas relaciones.

2. La acumulación de experiencias respecto a situaciones para las cuales existían soluciones comunes, la reflexión sobre las mismas hizo que se concretara mediante procedimientos mecánicos y mediante fórmulas. Las expresiones algebraicas, los procedimientos y las fórmulas son el resultado paulatino de madurez conceptual y no de una aparición repentina. La forma en que muchas veces se presenta el álgebra, induce a pensar a los estudiantes que ésta sólo puede brotar de mentes excelsas y prodigiosas que encuentran estos resultados por una revelación divina y no después de un proceso de búsqueda, motivación y de apropiación paulatina.

3. El lenguaje simbólico (y junto a él, el álgebra simbólica) aparece como una necesidad social. El tránsito del lenguaje sincopado al lenguaje simbólico requiere de todo un proceso; el cual no se tiene en cuenta en las prácticas escolares, quizá por desconocimiento de la historia.

B. El algebra en la escuela: matemáticas y lenguaje, una intersección vacía.

Tal como está concebida la estructura escolar, el desarrollo del plan de estudio, las metodologías asumidas y consecuentemente las formas de evaluar no permite que el álgebra alcance su verdadera dimensión e importancia. Por un lado la “cantidad de temáticas” a desarrollar, sin un tallo común que los articule y a su vez permita relacionar conceptos, no sólo dentro de las matemáticas, sino con otras áreas del conocimiento. “En la escuela secundaria la matemática suele ser enseñada como una materia independiente de las demás, autosuficiente, aislada. Ocasionalmente se encuentran aplicaciones en otros campos que ayudan a su comprensión y justifican su estudio. Hacia los últimos años de bachillerato en el estudio de la física y de la química, juega un papel exterior a estas ciencias: se le considera una herramienta auxiliar. […] Esta manera de presentar las matemáticas constituye un doble error, epistemológico y pedagógico que se perpetúa en la universidad. (Vinent. Pág... 94)

De otro lado, la falta de un diálogo interdisciplinario al interior de la escuela, lo cual hace que cada docente proclame independencia y se arrogue el derecho de ser lo más importante. Estas prácticas, no permiten la búsqueda, reflexión e implementación de estrategias compartidas para enfrentar problemas tan comunes tales como: la desmotivación de los estudiantes, la realización consciente de tareas, talleres y trabajos de consulta, los ensayos y la sustentación de los mismos; las falencias en la lectura e interpretación textos, que exigen argumentos conceptuales, las fallas en la lectura de enunciados de tipo matemático, la escasa participación en el desarrollo de las clases, la excesiva mecanización de procedimientos, entre otros. Unido a lo anterior, el tránsito que están haciendo los estudiantes, de niños y niñas a adolecentes, lo cual requiere estrategias, no sólo que busquen estructuración conceptual académica, sino su cualificación en el conjunto de sus dimensiones como seres integrales, miembros de una sociedad. El no ser consciente de los anteriores problemas, el no tener una línea definida de actuación como colectivo de maestros, hace que se tome el camino más fácil: sumergir a los adolescente en un mundo austero y rígido de letras combinadas con números de forma repentina y brusca, sin otra alternativa para ellos, que la mecanización de fórmulas y procedimientos sin entender su esencia, para sobrevivir temporalmente en el mundo de las matemáticas.

El común de los profesores y de algunos investigadores considera el álgebra no es más que una aritmética generalizada; que basta con tener claros los procedimientos y los algoritmos propuestos desde la básica primaria hasta el grado séptimo para que se traduzcan en términos de letras y queda listo para hacer transferencia. Saber álgebra es tener un dominio de una serie de casos de factorización, asociados a un sin número de ejercicios de adiestramiento que tal como son presentados, desarrollados y evaluados no tienen otra motivación que ganar exámenes y pasar al grado siguiente con el agravante de volver a memorizar la cadena de fórmulas para enfrentar problemas de física, trigonometría y de química donde el álgebra juega un papel esencial.

Una mirada menos desprevenida nos invita a considerar que “Los adolescentes al comenzar el estudio del álgebra, traen consigo las nociones y los enfoques que usaban en aritmética. Sin embargo, el álgebra no es simplemente una generalización de la aritmética. Aprender álgebra no es meramente hacer explícito lo que estaba implícito en la aritmética. El álgebra requiere un cambio en el pensamiento del estudiante de las situaciones numéricas concretas a proposiciones más generales sobre números y operaciones. La transición desde lo que puede considerarse como un modo informal de representación y de resolver problemas, a uno formal resulta ser difícil para muchos de los que comienzan a estudiar álgebra. Estos estudiantes siguen usando los métodos que le funcionaban en aritmética… (Kieran y Filloy, 1989, Pág. 35).

C. Algunas alternativas para mejorar la enseñanza del algebra

Existen variadas estrategias las cuales integradas a proyectos de investigación o proyectos de aula, expresados a través de secuencias didácticas pueden contribuir, sino a una solución definitiva, por lo menos a aminorar el problema y empezar a recorrer y consolidar una propuesta desde experiencias en el aula.

1. Modelación o matematización de situaciones y problemas. Un acercamiento paulatino y constante para el manejo de la variable desde situaciones y problemas contextualizados. (desde las matemáticas, otras áreas del conocimiento y desde la cotidianidad). El Profesor Vasco (2006) plantea que una de las herramientas que pueden ser usadas en el desarrollo de procesos de aprendizaje del álgebra tiene que ver con la modelación de situaciones a partir de programas en el computador. Para él es condición sine qua non, que sea el mismo estudiante quien al batallar en la solución de un problema, elija el nombre de las variables, las que deben ser significativas para el.

2. Una integración del álgebra con la geometría, tomando como elemento clave la simbología verbal y visual, que puedan deducirse algunas operaciones con letras y posteriormente la deducción de algunos productos notables.

3. Recurrir a procesos asociados a la lúdica en las clases de matemáticas y haciendo parte de ella el juego. El juego, hace parte de actividades tipo universal: contar, localizar, medir, diseñar, explicar. (Bishop. 2000), que desarrollan todas las comunidades en diferentes culturas y que contribuyen al desarrollo de procesos matemáticos.

4. Propiciar los espacios para involucrar significativamente la expresión oral y escrita. Hace algunos años (y aún ahora) los profesores de básica primaria exigían a sus estudiantes que en desarrollo de los problemas hicieran tres columnas donde aparecían el análisis, las operaciones y la respuesta específica a lo que se estaba preguntando. En general era un escrito corto, puntual, quizá un tanto mecánico; Hoy podríamos rescatar esta actividad y hacer que el estudiante exprese de forma oral o por escrito sus conjeturas, los pasos seguidos en el desarrollo de la solución etc. En definitiva proporcionar los espacios para que el estudiante arme sus construcciones y en comunión con sus pares y el maestro proponga alternativas de solución, procedimientos; los argumente, los contraste, los valide o invalide, permitiendo así que afloren otros puntos de vista, otras formas de “hacer” matemáticas, sin olvidar el ser.

Con respecto al álgebra, el profesor Vinent, plantea que en un principio y durante el tiempo que sea necesario la actividad matemática se desenvuelva a nivel exclusivamente verbal, en correspondencia con la etapa retórica del álgebra, añade: “¿ No sería verdaderamente atrayente para los escolares y el maestro que la clase fuera elaborando su propio texto de álgebra progresivamente enriquecido con los símbolos que los propios alumnos fueran inventando, de acuerdo con su fantasía a medida que se fueran necesitando?”(Vinent. Pág. 90). Con respecto a los símbolos estos deben introducirse cuando el estudiante tiene claro el concepto que representan, lo ha comprendido después de un acercamiento paulatino y con sentido, conociendo y/o deduciendo las reglas de uso para trabajar con ellos… “más adelante se puede pensar en un trabajo colectivo que se proponga la redacción de reglas que rigen las transformaciones algebraicas, a medida que los alumnos las descubran “. (ibíd. Pág. 91)

Conclusión provisional.

La necesidad de un diálogo interdisciplinar al interior de la escuela se hace inaplazable. El diálogo que aquí se plantea tiene como referente la historia de los conceptos, las condiciones de su intrincada y sinuosa búsqueda y concreción, ello quizá nos permita comprender el tejido que ha existido entre las disciplinas del conocimiento entre ellas matemáticas y lenguaje, para así rescatar elementos comunes a la hora de diseñar y poner en juego situaciones de aula, teniendo como marco general los proyectos de aula y/o proyectos de investigación. Uno de estos aspectos tiene que ver con la elaboración de enunciados, la lectura y escritura, como una herramienta para acercar paulatinamente a los estudiantes hacia la comprensión de conceptos, sus procedimientos y sus técnicas; siempre en el que esté implicada la experiencias y formas de razonar de los estudiantes. Desde el Grupo de Estudios en Lenguas, sentimos la necesidad propiciar condiciones y tiempos, para que el estudiante se arriesgue a la conjetura, a intentar pensar y actuar por cuenta propia, confrontarse con sus pares y el docente. Ser entre otros. Ello puede retribuir con creces en su formación y así no tendremos que desandar los caminos recorridos en solitario, con premura y sin dirección alguna.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.

BISHOP Alan, “Aspectos sociales y culturales de la Educación Matemática”. En: Planteamientos en Educación. Escuela Pedagógica Experimental. 2000.

HULL. L.W, “Historia y filosofía de la ciencia”. Editorial Ariel. 1973.

KIERAN C, FILLOY YANGÜE, “El aprendizaje del álgebra escolar desde una perspectiva psicológica”. Revista de Escuela Experimental Pedagógica. N2.

VASCO, Carlos. “La semiótica del álgebra elemental”. Conferencia ofrecida en el marco del V Encuentro nacional y II internacional por la calidad de la Enseñanza de las Matemáticas. Popayán. 2005.

VERA, Francisco, “Breve historia de la matemática” Editorial Lozada. S.S. Buenos Aires. 1961.

VINENT, Manuel, “Lógica numerosa y lógica especiosa”. Capítulo 7 del texto: Matemáticas y pedagogía. Universidad Nacional. 1996.

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