LOS MODELOS MATEMÁTICOS

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INTRODUCCIÓN

Modelar una situación o un fenómeno abstraído de la realidad es un proceso realmente complejo, porque requiere, primero que nada, ser un buen observador para así poder identificar el sistema a analizar y posteriormente, la situación específica que se desea estudiar de ese sistema. Aquí es muy importante dejar en claro que un sistema es un conjunto de partes coordinadas e interrelacionadas entre sí, las cuales trabajan en conjunto para alcanzar un determinado objetivo. Por su parte, un modelo se refiere a la representación lo más cercana a la realidad posible de algún suceso que se encuentra inmerso dentro de un sistema. En ese sentido, un modelo se crea a partir de un sistema, donde se analiza como se comporta en un lapso de tiempo a partir de la simulación. Esta última se refiere al experimento que se lleva a cabo gracias al modelo diseñado.  

Existen diversos tipos de modelos, que abarcan desde los gráficos (mapas, diagramas, histogramas, etc.) hasta los físicos y matemáticos. Para fines de esta actividad se estudiarán únicamente los modelos matemáticos, sus tipos y los elementos que lo integran. Así como también se muestra un ejemplo de cada uno de ellos, cómo se conectan los elementos en el lenguaje matemático y el papel que juegan las restricciones durante el análisis.

LOS MODELOS MATEMÁTICOS

Un modelo matemático es la representación de una situación real, en el cual se emplea un lenguaje especializado, expresado a través de ecuaciones. Es decir, el lenguaje común se es traducido a lenguaje matemático, con la finalidad de simplificar problemas complejos y poder comprenderlos.

Elementos que integran un modelo matemático

De acuerdo con la Universidad de Jaén (2009) & la Universidad de Murcia (2008), los elementos que integran los modelos matemáticos son:

• El objeto de estudio:

Es lo que representa aquello que se quiere estudiar con el modelo, es decir, es aquello de lo cual se requiere obtener información concreta y en lo que recae la investigación, como puede ser el flujo vehicular, un sistema de inventario, la demanda de un producto, etc.

• Las variables:

Se refiere a los objetos que forman parte de sistema u objeto principal de análisis. Generalmente, son valores que presentan variaciones bajo determinadas circunstancias, como pueden ser el tiempo, la distancia, velocidad, el peso de una mercancía, los costos, etc. Cabe mencionar que las variables deben estar relacionadas entre sí para que el modelo sea funcional. En pocas palabras, las variables sirven para crear las ecuaciones que modelan el problema.

• Las constantes:

Son los valores que no presentan variaciones dentro del modelo, es decir, son las magnitudes que se mantienen constantes a través del tiempo.  

• Los indicadores:

Son los parámetros o características que se observan en un sistema o caso de estudio. En un modelo matemático son específicos, medibles, controlables y muestran los cambios que se han generado a través del tiempo, como podría ser el porcentaje de entregas perfectas realizadas al día, los km recorridos por ruta, el porcentaje de rendimiento de combustible, etc.

• Límites del modelo

Se refiere a las fronteras tanto espaciales como temporales del modelo, pues es imposible abarcar un sistema muy amplio y por tiempo indefinido, pues se tornaría realmente complejo de modelar. Entre más específico sea el problema analizar, el modelo será más concreto y eficiente.

Ejemplo de los distintos tipos de modelos matemáticos

Retomando la información de la Universidad de Murcia (2008), se presentan los siguientes tipos de modelos:

• Empíricos: Se sustenta en las relaciones estadísticas entre las variables. Solo son válidos en un espacio y tiempo específicos, se utilizan principalmente para las predicciones. Algunos ejemplos son los modelos para realizar pronósticos de ventas, analizar el crecimiento poblacional y los fenómenos naturales, entre otros.

• Teóricos: Este tipo de modelos se fundamentan en leyes físicas, por ejemplo, las leyes de la gravedad de Newton, de la termodinámica, mecánica, dinámica, etc. Así surgen modelos como el del átomo de hidrógeno de Bohr, el crecimiento de las bacterias, modelos de optimización en el transporte, etc.  

• Estocásticos: Contrario a los modelos deterministas, estos se caracterizan porque generan procesos aleatorios, es decir, los valores de entrada pueden variar a la salida. Un ejemplo son los modelos de inventario para la Cantidad Económica de Pedido (EOQ) con demanda aleatoria, como los estudiados en la asignatura de inventarios.  

• Deterministas: Se caracterizan porque las variables y parámetros que se producen como salidas, son los mismos de las entradas, es decir, no hay incertidumbre ni se deja paso a resultados azarosos. En este caso también se pueden tomar de ejemplos los modelos de inventario EOQ, solo que en este caso se asume una certeza en la demanda.

• Estáticos: Estos modelos no presentan variaciones a través del tiempo, son útiles para estudiar procesos continuos. Por ejemplo, para determinar el flujo de agua de un tanque mediante la gravedad o un modelo estático para la toma de decisiones en una empresa, por mencionar algunos.

• Dinámicos: Contrario al modelo estático, los elementos de estos modelos suelen presentar variaciones en función del tiempo, es decir, permiten analizar los cambios ocurridos en el sistema u objeto de estudio en cada periodo. Un ejemplo claro son los modelos para planificar la producción en una empresa.

• Discretos matriciales: Se emplean cuando el fenómeno analizado se divide en distintas clases, para lo cual se emplean matrices de datos. Algunos ejemplos son las Cadenas de Markov que pueden utilizadas para el análisis de los cambios en las preferencias de los clientes y los modelos de Leslie, utilizados para describir el crecimiento poblacional (Universidad de Jaén, 2009).  

Selección del modelo matemático que más me gusto y elementos que lo conforman

El modelo que más llamó mi atención fue el estocástico, ya que, en la logística son ampliamente utilizados, sobre todo aquellos que tienen ver con el aprovisionamiento de materias primas, productos semi-terminados y terminados. Esta clase de modelos se conforman generalmente por 4 elementos, como son:

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