Conjuntos ( TEORIA)

CONJUNTOS Y SUBCONJUNTOS CAP.1

Problemas resueltos

NOTACIÓN

1. Escribir las afirmaciones siguientes en notación conjuntista:

(1) x no pertenece a A. (4) F no es subconjunto de G.

(2) R es superconjunto de S. (5) H no incluye a D,

(3) d es elemento de E.

Solución:

(1) x A, (2) R S, (3) d ε E , (4) F G, (5) H D,

2. Si A = {x I 2x = 6} y b = 3, ¿es b = A?

Solución:

A es un conjunto que consta del único elemento 3, es decir, A = {3}. El número 3 es elemento de A, pero no es igual a A. Hay una fundamental diferencia entre un elemento x y el conjunto {x}.

3. Sea M = {r, s, t}, Es decir, M consta de los elementos r, s y t, Dígase cuáles de las afirmaciones son correctas o incorrectas. Si alguna es incorrecta, decir por qué.

(a) r ε M (b) r M (c) N ε M (d) {r} M

Solución:

(a) Correcta.

(b) Incorrecta. El símbolo debe estar entre dos conjuntos, pues indica que un conjunto es subconjunto del otro. Así que r M es incorrecta por ser r un elemento de M, no un subconjunto.

(c) Incorrecta. El símbolo ε vincula un objeto a un conjunto, pues indica que el objeto es elemento del conjunto. Así que {r} ε M es incorrecta, ya que {r} es un subconjunto de M, no un elemento de M.

(d) Correcta.

CONJUNTOS Y SUBCONJUNTOS

4. Enunciar con palabras y luego escribir en forma tabular:

(1) A = {x I x2 = 4}.

(2) B = {x I x — 2 = 5}.

(3) C = {x I x es positivo, x es negativo}.

(4) D = {x I x es una letra de la palabra «correcto»},

Solución:

(1) Se lee «A es el conjunto de los x tales que x al cuadrado es igual a cuatro». Los únicos números que eleva¬dos al cuadrado dan cuatro son 2 y —2; así que A = {2, —2}.

(2) Se lee «B es el conjunto de los x tales que x menos 2 es igual a 5». La única solución es 7, de modo que B = {7}.

(3) Se lee «C es el conjunto de los x tales que x es positivo y x es negativo», No hay ningún número que sea positivo y negativo, así que C es vacio, es decir, C =Φ.

(4) Se lee «D es el conjunto de los x tales que x es una letra de si palabra correcto». Las tetras indicadas son c, o, r, e y t; así, pues, D = {c, o, r, e, t}.

5. Escribir estos conjuntos en una forma constructiva:

(1) El A que consiste de las letras a, h, c, d y e.

(2) El B = {2, 4, 6, 8,…}.

(3) El conjunto C de todos los países de las Naciones Unidas,

(4) El conjunto D = {3}.

(5) Sea E los presidentes Truman, Eisenhower y Kennedy,

Solución:

Nótese en primer lugar que la descripción de un conjunto, o sea su forma constructiva, no es necesariamen¬te única. Lo único que se requiere es que toda descripción defina el mismo conjunto. Se dan aquí algunas de las muchas respuestas posibles a este problema.

(1) A = {x I x está antes de f en el alfabeto}

= {x I x es una de las primeras cinco letras del alfabeto},

(2) B = {x I x es par y positivo},

(3) C = {x I x es un país, x está en las Naciones Unidas}.

(4) D = {x I x - 2= 1} = {x I 2x = 6}.

(5) E = {x I x fue presidente después de Franklin D. Roosevelt}.

CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS

6. ¿Cuáles conjuntos son finitos?

(1) Los meses del año.

(2) {1, 2, 3,…, 99, 100}.

(3) La gente que vive en la tierra.

(4) {x I x es par}.

(5) {1, 2, 3,…}.

Solución:

Los tres primeros conjuntos son finitos. Aunque pueda ser físicamente imposible llegar a contar el número de per¬sonas que hay en la Tierra, el conjunto es ciertamente finito. Los dos últimos conjuntos son infinitos. Si se tratara de contar los números pares jamás se llegaría al fin.

IGUALDAD DE CONJUNTOS

7. ¿Cuáles de estos conjuntos son iguales, {s, t, r}, {t, s, r, s}, {t, s, t, r}, {s, r, s, t}?

Solución.

Son todos iguales entre si. Obsérvese que el orden o la repetición no cambian un conjunto.

CONJUNTOS Y SUBCONJUNTOS

8. ¿Cuáles de estos conjuntos son iguales?

(1) {x I x es una letra en la palabra «tocata»1.

(2) Las letras de la palabra «tacto».

(3) {x I x es una letra de la palabra cota»}.

(4) Las letras a, c, o, t.

Solución:

Escribiendo los conjuntos en forma tabular es más fácil averiguar si son o no iguales. Una vez escritos los cua¬tro conjuntos en forma tabular se ve que todos son iguales al conjunto {a, c, o, t}.

CONJUNTO VACIO

9. ¿Cuál de estas palabras es distinta de las otras y por qué?: (1) vacío, (2) cero, (3) nulo.

Solución:

La primera y la tercera se refieren al conjunto sin elementos; la palabra cero se refiere a un número par¬ticular y es, por tanto, la palabra diferente.

10. Entre los conjuntos que siguen, cuáles son diferentes?: Ø, {0}, {Ø}.

Solución:

Cada uno es diferente de los otros. El conjunto {O} contiene un elemento, el número cero. El conjunto Ø no tiene elementos, es el conjunto vacío. El conjunto {Ø} tiene también un elemento que es el conjunto vacio: es un conjunto de conjuntos.

11. ¿Cuáles de estos conjuntos son vacíos?

(1) A = {x I x es una letra anterior a a en el alfabeto}.

(2) B = {x I x2 = 9 y 2x = 4}.

(3) C = {x I x ≠ x}.

(4) D = {x I x + 8 =8}.

Solución:

(1) Como a es la primera letra del alfabeto, el conjunto A carece de elementos; por tanto, A = 0.

(2) No hay número qua satisfaga a ambas ecuaciones x2 = 9 y 2x = 4; así que B es también vacio.

(3) Se da por sentado que todo objeto es el mismo, de modo que C es vacio. Tanto es asi que algunos libros definen de esta manera el conjunto vacio, es decir, Ø = {x I x ≠ x}.

(4) El número cero satisface a la ecuación x + 8 = 8, así que D consta del elemento cero. Por tanto, D no es vacío.

SUBCONJUNTOS

12. Dada A = {x, y, z}, ¿cuántos subconjuntos hay en A y cuáles son? Solución:

Haciendo la lista de todos los subconjuntos posibles de A resultan ser: {x, y, z}, {y,z},{x, z},{x, y},{x}, {y},{z} y el conjunto vacío Ø. Hay ocho subconjuntos en A.

13. Definir los siguientes conjuntos de figuras del piano euclidiano:

Q = {x I x as un cuadrilátero}. H = {x I x es un rombo}.

R = {x I x es un rectángulo}. S = {x I x es un cuadrado}.

Decir que conjuntos son subconjuntos propios de los otros. Solución:

Como un cuadrado tiene 4 ángulos rectos, es un rectángulo; y como tiene 4 lados iguales, es un rombo; y puesto que tiene 4 lados, es un cuadrilátero. Según eso S Q, S R, S H, as decir, S es un subconjunto de los otros tres. Y, además, como hay rectángulos, rombos y cuadriláteros que no son cuadrados, resulta ser S un subconjunto propio de los otros tres. De manera análoga se ve que R es un subconjunto propio de Q, y que H es un subconjunto propio de Q. No hay otras relaciones entre los conjuntos.

14. ¿Tiene todo conjunto un subconjunto propio? Solución:

El conjunto vacío Ø no tiene subconjunto propio. Cualquier otro conjunto tiene al Ø como subconjunto propio. En algunos libros no se llama subconjunto propio al conjunto vacío; y entonces los conjuntos que tie¬nen un solo elemento no tendrían un subconjunto propio.

15. Demostrar: Si A es un subconjunto del conjunto vacio 25, entonces A = Ø.

Solución:

El conjunto vacío Ø es subconjunto de cualquier conjunto; en particular, Ø A. Por hipótesis, A Ø. De modo que, por la Definición 1, A = Ø.

16. ¿Cómo se demuestra que un conjunto A no es un subconjunto de otro conjunto B? Demos¬trar que A = {2, 3, 4, 5} no es un subconjunto de B = {x I x es par}.

Solución:

Hay que demostrar que hay al menos un elemento de A que no esta en B. Como 3 A y 3 B, se ve que A no es un subconjunto de B, o sea que A B. Nótese que no es necesario saber si hay o no otros elementos de A que no estén en B.

17. Sean V = {d}, W = {c, d}, X = {a, b, c}, Y = {a, b} y Z = {a, b}. Establecer la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

(1) Y X (3) W ≠ Z (5) V Y (7) V X (9) X = W

(2) W V (4) Z V (6) Z X (8) Y Z (10) W Y

Solución:

(1) Como todo elemento de Yes elemento de X, resulta que Y X es verdadera.

(2) El único elemento de V es d, y d también esta en W; así que W es un superconjunto de V y, por tanto, W ⊅ V es falsa.

(3) Como a ε Z y a W, W ≠ Z es verdadera.

(4) Z es un superconjunto de V puesto que el único elemento de V es elemento de Z; por tanto, Z ⊃ V es verdadera.

(5) Como d ε V y d Y, V ⊄ Y es verdadera.

(6) Como c ε X y c Z, entonces Z no es un superconjunto de A, es decir, Z ⊅ X es verdadera.

(7) V no es un subconjunto de X, ya que d ε V y d ∄ X; por tanto, V ⊂ X es falsa.

(8) Todo elemento de Y lo es de Z; luego Y ⊄ Z es falsa.

(9) Como a ε X y a W, X = W es falsa.

(10) Como c ε W y c Y, W no es un subconjunto de Y, por tanto, W Y es falsa.

18. Sean A = {r, s, t, u, v, w}, B = {v, w, x, y, z}, C = {s, u, y, z}, D = {u, v}, E = {s, u} y

F = {s}. Sea X un conjunto desconocido. Determinar cuales de los conjuntos A, B, C, D, E o F pueden ser iguales a X si se dan las informaciones siguientes:

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