Las Fracciones

¿Qué son las fracciones?

Se les llama fracciones a los números de la forma a/b, en la que a y b son números enteros, y el número b no es cero. Es decir, a números como 2/3, 317/128, 13/13 ó 0/3.

Al trabajar con fracciones, es importante que los maestros tengamos claro que cualquier fracción es un número, y que ese número tiene distintos usos y significados. Entre otros, los siguientes:

El de fracción, es decir, el de número que indica en cuántas partes iguales se fraccionó una unidad o un conjunto de unidades, y cuántas de ellas se están considerando. Podemos decir, por ejemplo:

3/4 (tres cuartos) de metro. Expresión que remite a suponer que el metro se parte en 4 partes iguales (cuartos de metro) y se consideran 3 de ellas.

3/4 (tres cuartos) de pastel. 3/4 es la parte de pastel que se obtiene al fraccionarlo en 4 partes iguales y considerar a 3 de ellas y, en este caso, el número 3/4 también podría interpretarse como 3 partes de un total de 4.

3/4 (tres cuartos) del total de alumnos de una escuela. En este caso, el número 3/4 podría interpretarse como 3 partes de un total de 4, pero también como 3 alumnos de cada 4. Pues decir, por ejemplo, que tres cuartas partes de los alumnos aprobaron, es equivalente a decir que aprobaron 3 alumnos de cada 4.

El de cociente: cualquier fracción es, entre otras cosas, el número que se obtiene al dividir el numerador entre el denominador, cuando el resultado de esta división se escribe en forma de fracción. Por ejemplo:

Si se reparten 3 barras de chocolate iguales entre 4 niños, de modo que a cada uno le toque la misma cantidad que a los demás, cada uno recibe 3/4 de barra de chocolate. Y si 3 litros de leche se sirven en 4 jarras de modo que cada una tenga la misma cantidad de leche que las demás, cada una tendrá 3/4 de litro. Entonces, 3/4 es el número que se obtiene al dividir 3 entre 4, cuando el resultado de esta división se escribe en forma de fracción.

El de razón, es decir, el de número que indica la relación entre dos cantidades:

3/4 indica, entre otras cosas, la relación que hay entre los números 3 y 4 (pues el número 3 es tres cuartas partes del número 4). Y 3/4 puede indicar, por ejemplo, la relación que hay entre la cantidad de tazas de azúcar y la de tazas de harina azúcar que se requieren para hacer un determinado tipo de galletas, si la receta indica que hay que usar 3 tazas de azúcar por cada 4 tazas de harina.

Equivalencias

También es importante tener claro que siempre que en una fracción se multiplica o divide al numerador y al denominador por un mismo número distinto de cero, se obtiene un número que es el mismo que la fracción original.

Por ejemplo, si multiplicamos, por 1.5 al numerador y al denominador de 6/8, obtenemos 9/12, que el mismo número que 6/8, escrito de diferente forma.

6/8 = 9/12

Y si dividimos entre 3 al numerador y al denominador de 9/12 obtenemos 3/4, que es el mismo número que 9/12 y que 6/8, escrito de diferente forma.

6/8 = 9/12 = 3/4

Por otra parte, también conviene saber que, pesar de que cuando en una fracción se multiplica o divide al numerador y al denominador por un mismo número distinto de cero, siempre se obtiene un número que es el mismo que la fracción original, en ocasiones el número obtenido no es una fracción.

Por ejemplo, si dividimos entre 2 al numerador y al denominador de 3/4, obtenemos 1.5/2, que es el mismo número que 3/4 y que 9/12 y que 6/8 ; 6/8 = 9/12 = 3/4 = 1.5/2 Pero 1.5/2 no es una fracción, pues su numerador no es un número entero.

Cuando dos o más fracciones son el mismo número, se les llama equivalentes. Por ejemplo,

3/4 y 6/8 son fracciones equivalentes. Para indicarlo, usamos el símbolo =3/4 = 6/8

Por otra parte, como cada una de estas dos fracciones tiene muchos significados diferentes, esta expresión nos dice muchas cosas a la vez:

Que 3/4 y 6/8 son el mismo número.

Que fraccionar a una unidad o a una colección de unidades en 3 partes iguales y considerar 4 de ellas, es equivalente a fraccionarla en 6 partes iguales y considerar 8 de ellas.

Que decir 3 de cada 4 es equivalente a decir 6 de cada 8.

Que el número que se obtiene al dividir 3 entre 4 es el mismo que el que se obtiene al dividir 6 entre 8.

Que las divisiones 3 entre 4 y 6 entre 8 son equivalentes.

Que la relación que hay entre los números 3 y 4 es la misma que hay entre los números 6 y 8.

Que pedir que al preparar galletas se usen 3 tazas de azúcar por cada 4 de harina, es equivalente a pedir que se usen 6 tazas de azúcar por cada 8 tazas de harina. Entonces, aprender a encontrar fracciones equivalentes a una fracción dada permite muchas cosas.

Simplificar divisiones

Por ejemplo, una manera sencilla de efectuar la división 720 entre 240 sin usar calculadora, es tomar en cuenta que el resultado de esta división escrito en forma de fracción es 720/240, y obtener fracciones equivalentes a esta que sean cada vez más simples.

Dividiendo entre 10 al numerador y denominador de 720/240 obtenemos720/240 = 72/24

Dividiendo entre 2 al numerador y denominador de 72/24 (operación que, al igual que la anterior, podría hacerse mediante simple cálculo mental) obtenemos 720/240 = 72/24 = 36/12Y dividiendo entre 6 al numerador y al denominador de 36/12 obtenemos720/240 = 72/24 = 36/12 = 6/2Esto nos dice que dividir 720 entre 240 es equivalente a dividir 6 entre 2. Y como el resultado de esta última división es 3, entonces el de la división 720 entre 240 también es 3.

Simplificar información

Por ejemplo, si se fabrica un lote de 1 500 tornillos, cada uno es un "milquinientosavo" del lote completo (1/500) y, en consecuencia, si 500 tornillos están defectuosos, la parte defectuosa es 500/ 1500 (quinientos "milquinientosavos") del lote completo.

Dividiendo entre 100 al numerador y al denominador de 500/1500 obtenemos 500/1500 = 5/15 Y dividendo entre 5 al numerador y al denominador de 5/15, obtenemos:

500/1500 = 5/15 = 1/3

Esto último nos dice, por una parte, que la tercera parte del lote está defectuosa y, por otra parte, que 1 de cada 3 tornillos tiene algún defecto.

Análogamente, cuando en una escuela 240 alumnos presentan el mismo examen y 180 aprueban, los aprobados son 180/240 (ciento ochenta "doscientoscuarentavos") del total de alumnos. Y quien es diestro en encontrar fracciones equivalentes a una dada puede escribir, por ejemplo:

180/240 = 18/24 = 6/8 = 3/4

Esta expresión no sólo nos dice que 180/240, 18/24, 6/8, y 3/4 son fracciones equivalentes, sino también que afirmar que aprobaron 180 alumnos de un total de 240 es equivalente a afirmar que aprobaron 18 de cada 24, o 6 de cada 8, o 3 de cada 4.

Determinar porcentajes

En el ejemplo anterior, después de escribir

180/240 = 18/24 = 6/8 = 3/4

Podemos intentar escribir a la fracción 3/4 de modo que el denominador sea 100. Para ello podemos dividir 100 entre 4 para encontrar cuál es el número que multiplicado por 4 da 100.

Una vez encontrado que dicho número es 25, podemos multiplicar por 25 al numerador de 3/4 para obtener una fracción equivalente, pero de denominador 100:

180/240 = 18/24 = 6/8 = 3/4 = 75/100

Con ello, detectamos que afirmar que 180 de un total de 240 aprobaron el examen, es equivalente a afirmar que lo aprobaron 75 de cada 100, o dicho de otro modo, que el porcentaje de aprobados fue 75%

Facilitar comparaciones

Si en el poblado A hay 9 600 adultos, de los cuales 7 200 tienen empleo, y en el B hay 1280 adultos de los cuales 1 120 tienen empleo, en el A la parte empleada de la población adulta es 7200/9600 y en el B es 1120/1280. Simplificando 1120/1280 obtenemos:

1120/1280 = 112/128 = 56/64 = 28/32 = 7/8

Y simplificando 7200/9400 obtenemos:

7200/9600 = 72/96 = 36/48 = 6/8

Entonces, en el poblado B la parte empleada de la población adulta es 7/8 y en el A es 6/8. O, dicho de otro modo, en el B sucede que 7 de cada 8 adultos tienen empleo y, en el A, 6 de cada 8 adultos tienen empleo. En consecuencia, en el A es más serio el problema del desempleo.

Resolver problemas de proporcionalidad.

Como las fracciones son razones (es decir, números que indican la relación entre dos cantidades) y dado que la proporcionalidad no es otra cosa que la igualdad entre razones, encontrar fracciones equivalentes a una fracción dada también permite resolver muchos problemas de proporcionalidad del tipo valor faltante. Por ejemplo, si una receta indica que por cada 6 tazas de harina se requieren 4 tazas de azúcar, la relación (razón) de tazas de azúcar cantidad de tazas de harina es 4/6. Entonces, para determinar cuántas tazas de azúcar corresponde utilizar cuando se usan 15 tazas de harina, bastaría con encontrar una fracción (razón) equivalente a 4/6 cuyo denominador sea 15.

cantidad de tazas de azúcar = 4 = ?

cantidad de tazas de harina 6 15

Para ello, podríamos dividir 15 entre 6 = 2.5 para encontrar el número que multiplicado por 6 da 15 y, una vez encontrado que dicho número es 2.5, multiplicar por 2.5 al numerador y al denominador de 4/6, para encontrar así que la fracción de denominador 15 equivalente a 4/6es 10/15

cantidad de tazas de azúcar = 4 = 10

cantidad

...