Las integrales

Las integrales descritos en este artículo se denominan integrales definidas .

Los principios de integración fueron formuladas de forma independiente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz en el siglo 17. A través delteorema fundamental del cálculo , que se desarrollada de forma independiente, la integración está conectado con la diferenciación: si fes una constante de valor real función definida en un intervalo cerrado [ a , b ] , entonces, una vez que una primitiva F de f es conocido, la integral definida de f durante ese intervalo está dado por

Integrales y derivados se convirtieron en las herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería .Los fundadores del cálculo pensado en la integral como una suma infinita de rectángulos de infinitesimal ancho. Una definición matemática rigurosa de la integral estuvo a cargo de Bernhard Riemann . Se basa en un procedimiento de limitación que se aproxima a la zona de una curvilínea región rompiendo la región en finas losas verticales. A partir del siglo XIX, las nociones más sofisticadas de integrales comenzaron a aparecer, cuando el tipo de la función, así como el dominio sobre el que se realiza la integración se ha generalizado. Una integral de línea se define para funciones de dos o tres variables, y el intervalo de integración [ un , b ] se sustituye por una cierta curva que conecta dos puntos en el plano o en el espacio. En una integral de superficie , la curva se sustituye por una pieza de una superficie en el espacio tridimensional. Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel fundamental en la moderna geometría diferencial . Estas generalizaciones de integrales surgió por primera vez de las necesidades de la física , y juegan un papel importante en la formulación de muchas leyes físicas, en particular los de la electrodinámica . Hay muchos conceptos modernos de integración, entre estos, el más común se basa en la teoría matemática abstracta conocida como la integración de Lebesgue , desarrollado por Henri Lebesgue .

Definición de integral

Función primitiva o antiderivada

Función primitiva de una función dada f(x), es otra función F(x) cuya derivada es la función dada.

F'(x) = f(x)

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Integral indefinida

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ∫ f(x) dx. Se lee : integral de x diferencial de x. ∫ es el signo de integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que: ∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Línealidad de la integral indefinida

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

LA INTEGRACIÓN es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Integral definidaDada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área

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