Matemáticas en Ciencias sociales

Tema 1. Matemáticas en Ciencias sociales

1.- Historia de las matemáticas. (Introducción)

Las matemáticas son parte de la vida diaria, sería difícil imaginar nuestra cotidianidad sin su presencia. Es común suponer que éstas y las ciencias sociales no están ligadas, pero esto es un error; hasta aproximadamente 400 a. De C. Se consideraba que estaban en la misma rama que la filosofía griega; más adelante se separa la matemática como rama independiente, pero sigue íntimamente ligada a la filosofía por la índole de su ideología.

A continuación buscamos interpretar las matemáticas como un elemento histórico, recopilando su inevitable presencia en las culturas de cada época.

Los primeros textos numéricos encontrados, los sumerios, aparecen al mismo tiempo que los primeros sistemas de escritura conocidos, de egipcios y nuevamente, sumerios (es decir que el hablar y el contar aparecieron simultáneamente).

Uno de los primeros sistemas matemáticos fue el babilónico, que retoma la ideología de los sumerios y su base numérica sexagesimal; de ésta se deriva el sistema actual para medir horas, minutos y segundos, así como la medición de ángulos. Su sistema de escritura era cuneiforme, es decir, escribían a través de pictogramas.

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Los babilónicos desarrollaron las matemáticas como una ciencia que encauza a ser una sociedad organizada, y sienta las bases para la agricultura, la astronomía, la medida del tiempo y la arquitectura.

La cultura científica de Mesopotamia es una cultura oscurecida por la egipcia y por la monumentalidad de sus construcciones.

Los egipcios escribían con inscripciones jeroglíficas y su sistema de números es decimal sobre bases lineales; en sus textos aparecen signos individuales de números hasta el 10, y se calculaba con números auxiliares que estaban incluidos en la terminología. Calculaban mentalmente y sus resultados los capturaban en una tabla de cálculos, la cual también usaban para sumar y restar. Multiplicaban por el método de doblar y multiplicar por diez.

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Dominaron los números y sus operaciones; conocieron números naturales y  racionales positivos de numerador 1; resolvían ecuaciones de segundo grado y raíces cuadradas para aplicarlas a problemas de áreas, éstas últimas visiblemente empleadas en sus construcciones.

El principal texto matemático egipcio  es el Papiro de Rhind, que proporciona unas reglas para cálculos de adiciones y sustracciones de fracciones, ecuaciones simples de primer grado, diversos problemas de aritmética, mediciones de superficies y volúmenes. Se compone de cinco partes que se refieren a la aritmética, la estereometría, la geometría, el cálculo de pirámides y varios problemas prácticos.

Esta cultura introduce un calendario por división del año de doce meses de treinta días cada uno, además de la construcción de sus magníficas pirámides, que nos dejan a suponer una buena disposición a las matemáticas.

Otra cultura que aportó cosas importantes a las matemáticas fue la china.

Una obra matemática china sobresaliente fue la de Los Nueve Capítulos o Los Nueve Libros. Está dividida en pergaminos independientes que tratan los temas de ingeniería, ecuaciones y las propiedades de los triángulos rectángulos.

Su sistema numérico es el decimal jeroglífico; estaban seguros de la existencia de números negativos, mas nunca los utilizaron para resolver una ecuación.

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Inventaron tableros de cálculo con fichas de dos colores, uno que expresara números positivos y el otro, negativos. Estos tableros más adelante serían conocidos como ábacos.

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En América, con los mayas, un nuevo sistema numérico, siglo III a. De C.

El sistema estaba compuesto por puntos y rayas, que representaban a los números por debajo de 20. Para el cero aparece un sistema de posición con signo.

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Tenían otro sistema llamado “cabezas”, usando como base el numero 20, cada número contaba con su propio símbolo. Este sistema es considerado análogo al sistema de numeración indio-árabe.

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Tenían una división del año de 18 meses de 20 días cada uno, a los cuales se añaden cinco días intercalados considerados como nefastos. No se han encontrado detalles exactos sobre la manera de llevar a cabo el cálculo.  

Una de las aportaciones más simbólicas para las matemáticas fue la de la cultura griega.

Las cifras herodianas son las primeras representaciones de letras correspondientes a números; se encuentran en inscripciones áticas desde el siglo VI hasta el siglo I, eran lineales y servían como signo distintivo de las divisiones de la tabla de cálculo.

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Para los griegos las matemáticas eran una forma de entender la realidad y les proporcionaban una visión del universo en general; era la disciplina que dominaba a todas las demás.  Se cuestionaban si las fórmulas que aplicaban a una cosa eran válidas para las demás; para ellos, los resultados matemáticos necesitaban ser demostrados antes de decidir que eran válidos.

Surge la palabra griega teorema, que significa “Proposición demostrable lógicamente, partiendo de axiomas o de otros teoremas ya demostrados, mediante reglas e inferencia aceptadas”1 

La matemática griega se convierte en una disciplina que genera teoremas.

A continuación expondremos las ideas de algunos de los principales matemáticos griegos:

1.- Pitágoras.

Pitágoras fue un pensador que forma la “hermandad pitagórica”, una secta de matemáticos o estudiosos que hicieron múltiples aportaciones a la aritmética, geometría, astronomía y música.

En la visión pitagórica del mundo, todo es un número. Y la realidad podía entenderse a través de los números enteros positivos: 1,2,3…

El teorema de Pitágoras ya era conocido por los babilonios, pero fueron los pitagóricos quienes le proporcionan estructura y exponen una prueba formal del mismo; el teorema se refiere a las medidas de los lados de un triángulo rectángulo.

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a y b representan las medidas de los catetos y c la medida de la hipotenusa.

El teorema enuncia lo siguiente :

A2 + B2= C2

Los pitagóricos expresaron que si el triángulo tiene un ángulo recto (90º), y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos.

Hasta la fecha el teorema de Pitágoras se utiliza para ciencias, arte, arquitectura e ingeniería.

2.- Euclides.  

El legado de Euclides es una serie de 13 libros, o elementos, que contienen todo el conocimiento matemático de su época (330-275 a. De C.). La mayoría del contenido de los libros no son descubrimientos de Euclides, sino de pitagóricos y otros matemáticos como Hipócrates, Eudoxos y Thaetetus; sin embargo fue un esfuerzo importantísimo, ya que organizó y presentó de manera lógica los temas. Además, Euclides se dio cuenta de que había cantidades como    que no eran representables por ningún número entero o racional, y para resolver este problema, tomó a los objetos geométricos como bloques fundamentales de las matemáticas. Por ejemplo, el producto de dos medidas podía pensarse como el área de un rectángulo con las iguales a cada una de las medidas.[pic 9]

Su visión era que todo es medida.

La mayor parte de su trabajo se refiere a la geometría, sin embargo, introdujo términos como el de “números irracionales” es decir, que no son racionales y no pueden expresarse como fracción, pero que sí son cantidades geométricas representables (). [pic 10]

Asimismo advirtió la importancia de los números primos, aquellos números mayores a 1 que solo tienen dos divisores distintos: ellos mismos y el número 1.

Así, Euclides plantea el teorema fundamental de la aritmética, que dice que los números primos son los bloques fundamentales a partir de los cuales se obtienen los demás enteros.

Veintitrés siglos después de haber creado sus 13 Elementos, el proceso de deducción lógica de Euclides sigue vigente.

3.- Arquímedes

Arquímedes fue un físico, matemático e ingeniero griego que inventó diversas cosas, entre ellas la “coclea” una especie de aparato que servía para elevar las aguas y regar las regiones a las que no llegaba la inundación del Nilo.

Se cuenta que Hierón II, tirano de Siracusa, encargó a Arquímedes inspeccionar una corona para ver si lo habían timado confeccionándola con plata en vez de oro.

Arquímedes meditó mucho sobre el problema, hasta que un día en una tina descubrió que mientras el se iba metiendo, el agua se desbordaba y pensó que podría saber el volumen del objeto si medía el agua que rebosaba. A esto se le conoce como el principio de Arquímedes: “Al ser sumergido en el agua, un cuerpo es empujado hacia arriba con una fuerza igual al peso del agua que desplaza”  

Asimismo descubrió que si se ponía un polígono dentro de un círculo, mientras más veces dividiera el polígono más cerca estaría éste del perímetro del círculo, es es igual a . Arquímedes llegó a utilizar polígonos de 96 lados obteniendo el siguiente rango para el valor de :  3.1410 <  < 3.1427. [pic 11][pic 12][pic 13]

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