Mate

1.-Un señor colocó 3/8 de su capital al 6% anual de interés simple, el resto al 4.5% anual, la primera produce Q697.50 de interés por un año. ¿Cuánto produce anualmente en concepto de intereses todo su capital?

Primero debemos encontrar el 3/8 de su capital que producen los Q697.50 de interés.

Datos:

I = 697.50

n = 1

i = 0.06

Fórmula: P = I / n i

P = 697.50 / 1 x 0.06

P = 697.50 / 0.06

P = 11,625.00

Luego encontramos los 5/8 del capital que equivale a:

Si 3/8 = 11,625.00 entonces, 5/8 = 19,375.00, luego encontramos los intereses de los 5/8 de capital

Datos:

P = 19,375.00

n = 1

i = 0.045

Fórmula: I = P.n.i

I = 19,375 x 1 x 0.045

I = 871.88

Solucion: I1=697.50 + I2=871.88 = 1,569.38 es lo que produce anualmente todo su capital.

2-.Calcular el monto y los intereses obtenidos al invertir $200.- al 5% de interés anual durante 10 años en régimen de capitalización compuesta. C=$200, i= 5% anual (0,05), n=10 años.

C=$20º, i=5% anual (0.05), n=10 años

M=C (l+i)n=$200(1+0,05) 10= $325,78

Solucion : I=M-C= $325,78-$200,00= $125,75

3.-Halle la tasa de interés simple equivalente al 9% compuesto con capitalización trimestral en 5 años?

Para que las tasas sean equivalentes, a un mismo capital inicial debe corresponder un mismo capital final.

Si igualamos las fórmulas de ambas capitalizaciones tendremos que

à

En nuestro problema es , ,

à

Por tanto la tasa de interés simple pedida es de 9.1%

4.-Si colocamos nuestros ahorros de $ 10.000 en un banco donde al cabo de 30 días nos devolverán $ 10.500, ¿cuál es el porcentaje de rendimiento obtenido?

Rendimiento obtenido= ($10.500-$10.000).100 = 5%

10.000

5.-Calcular el interés que generan $500.000 durante 4 meses a una tasa de interés del 5% mensual. (R/ $100.000)

Solución:

|I = (P) (i) (n) |

I = ¿

P = 500000

n = 4

i = 5%

I= 500000 x 0,05 x 4 = 100000

1. ¿Qué tasa de interés compuesto anual es equivalente al 12.5 con capitalización semestral?

En este caso es tenemos que comparar dos capitalizaciones compuestas pero con distintos períodos de capitalización.

à

Donde

2. Calcular el monto y los intereses obtenidos al invertir $200.- al 5% de interés anualdurante 10 años en régimen de capitalización compuesta. C=$200, i= 5% anual (0,05), n=10 años.

C=$20º, i=5% anual (0.05), n=10 años

M=C(l+i)n=$200(1+0,05) 10= $325,78

Solucion: I=M-C= $325,78-$200,00= $125,75

3. La señora Betty Páez tiene una deuda, la cual deberá cancelar dentro de dos años y medio, por valor de $5'300.000, a una tasa de interés del 2.5% mensual. Si la señora desea cancelar la deuda hoy, ¿Cuánto debe pagar?

La representación en la línea del tiempo es:

VA = ?

VF = $5.300.000

i = 2.5% mensual

n = 30 meses

Una observación importante es que si los períodos de capitalización están en meses, la tasa debe ir expresada en términos mensuales.

Es decir, la magnitud del tiempo de capitalización, debe ser la misma magnitud de tiempo en que esté expresada la tasa.

Identificadas las variables, el valor actual de la deuda se estima mediante la formula:

• VA = VF (1 + i)-n

• VA = 5.300.000 (1 + 0,025)-30

• VA = $2.526.736,25

Valor a cancelar hoy $ 2.526.736,25

4. Determine el monto acumulado de $50 000 que se depositan en una cuenta de valores que paga 15% anual convertible mensualmente:

a) Al cabo de un año

b) Al cabo de dos años

SOLUCION

Se utiliza la fórmula de monto a interés compuesto:

DATOS

C = $50 000.00

j = 15%

m = 12

La tasa de interés compuesto para cada inciso es:

El número de periodos “n” depende del plazo, y se obtiene multiplicando el número de años por la frecuencia de conversión.

a) Al cabo de un año

n = 1(12) = 12 meses

M = $58,037.73

b) Al cabo de dos años

n = 2(12) = 24 meses

M = $67,367.55

5. ¿Cuánto dinero debe depositarse en el banco si se desea acumular un monto de $250 000 en un plazo de 2 años, y la tasa de interés es de 9% convertible mensualmente?

DATOS

C = ? (La cantidad que se debe depositar es un valor actual)

M = $250 000 (La cantidad a acumular es valor futuro)

Plazo = 2 años

j = 9%

m = 12

SOLUCION:

Entonces, se busca el valor actual a interés compuesto conociendo el monto.

n = 2(12) = 24 meses

C = $208 957.85 (Cantidad a depositar para acumular

$250 000.00 en dos años)

1. Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?

Solución

Es un problema de programación lineal.

Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo A

Llamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo B

Inversión rendimiento

Tipo A X 0,1x

Tipo B Y 0,08y

210000 0,1x+0,08y

Condiciones que deben cumplirse (restricciones):

R1

R2

R3

R4

Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la región factible (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones)

r1 r2 (paralela a OY) r3(paralela a OX) r4

X y X y X y x y

0 210000 130000 0 0 60000 0 0

210000 0 130000 65000

La región factible es la pintada de amarillo, de vértices A, B, C, D y E

A(0, 60000), B(120000, 60000), C(130000, 65000), D(130000, 80000) y E(0, 210000)

La función objetivo es;

F(x, y)= 0,1x+0,08y

Si dibujamos la curva F(x, y) =0 (en rojo) y la desplazamos se puede comprobar gráficamente que el vértice más alejado es el D, y por tanto es la solución óptima.

Comprobarlo analíticamente (es decir comprobar que el valor máximo de la función objetivo, F, se alcanza en el vértice D)

2. Un camión de transporte tiene capacidad de transportar como máximo 9 toneladas y por viaje. En un viaje desea transportar al menos 4 toneladas de la mercancía A y un peso de la mercancía B que no sea inferior a la mitad del peso que transporta A. Sabiendo que cobra $800.000 por toneladas transportadas de mercancía A ya que ocupa un volumen por tonelada y $600.000 por tonelada transportada de mercancía B ya que ocupa un volumen 1.5por tonelada ¿Cómo se debe cargar el camión para obtener la ganancia máxima si para cada tonelada cargada gasta en promedio $200.000 de gasolina? Objetivo: maximizar ganancia Variables

X1=cantidad toneladas A

X2=cantidad toneladas B

Zmax= (800000-200000)x1+(600000-200000)x2

Procedimiento:

X1>4 (1)

X1+x2 < 9 toneladas (2)

X2 > 1 x1

2

1 x1- x2 < 0 (3)

2

2x1 + 1.5 x2 < 30 m3 (4)

3. Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y cual es este?

Sea x = nº electricistas

y = nº mecánicos

La función objetivo

f (x, y)=250x+ 200y , las restricciones

La región factible sería para estas restricciones:

Se aprecia gráficamente (línea en rojo) que la solución óptima

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