Matematica 2 Dopazo

GEOMETRÍA DE LAS FORMAS

Sistema de Coordenadas Cartesianas

Coordenadas Cartesianas

Para ordenar un espacio determinado se deberá establecer donde se encuentra cada uno de los puntos de ese espacio. Por esto se crearon los ejes de coordenadas donde puntos, ejes y planos son elementos fijos y a los cuales referimos el resto del espacio.

Es un sistema formado por dos rectas perpendiculares donde el origen es el punto de intersección entre ellas.

Las proyecciones determinan las distancias al origen y constituyen un par ordenado

(x ; y).

Coordenadas polares

En el espacio bidimensional tomamos un eje polar fijando en él un origen, un sentido positivo y una escala. Cualquier punto se lo puede determinar por su distancia al origen y el ángulo que se forma con el eje polar.

Vectores

Un vector es un segmento orientado, dentro del segmento consideramos a uno de los puntos como origen y al otro como extremo, es decir, hay un orden entre ellos. Un vector se define por tres elementos:

• Dirección: Dada por la recta que lo contiene.

• Sentido: Fija el orden en que hayamos elegido los puntos extremos.

• Modulo: longitud del segmento.

Los vectores representan fuerzas, velocidades o aceleraciones; se las llama magnitudes vectoriales.

Los vectores pueden ser:

• Iguales: Cuando tiene mismo sentido, dirección y mismo módulo.

• Opuestos: Tienen igual módulo y dirección, pero sentido contrario.

Componentes del vector:

• Proyecciones del vector sobre los ejes. (x ; y ; z). Es equivalente representar un punto por sus coordenadas o por su vector posición.

• Diferencia de vectores: AB = OB – OA = (xb ; yb) – (xa ; ya) = (xb – xa ; yb - ya)

• Sumatoria de vectores: A = (ax ; ay ; az) y B = (bx ; by ; bz)

A + B = (ax + bx ; ay + by ; az + bz)

• Multiplicar por un numero real: k. A = (kax ; kay ; kaz)

Ecuaciones de una recta en un plano

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos (aX ; aY) y (bX ; bY) la ecuación es:

1 y – aY = bY – aY

x – aX bX – aX

Si en 1 hacemos multiplicación cruzada, se obtiene otra equivalente, si la igualamos a ¨t¨ que es un parámetro obtenemos:

2 y – aY = x – aX = t

bY – aY bX – aX

Ecuación simétrica aX ≠ bX ; aY ≠ bY ; aZ ≠ bZ

Y de la ecuación 2 se obtiene:

3 x – aX = t (bX – aX)

y – aY = t (bY – aY)

Ecuación paramétrica

Si se toman esas diferencias como parte de un vector:

(x – aX ; y – aY) = (t (bX – aX) ; t (bY ; aY))

Que es lo mismo que:

(x ; y) – (aX ; aY) = (t (bX ; bY) – (aX ; aY))

----- -------- --------- ---------

r a b a

Entonces queda:

_ _ _ _ _ _ _ _

r – a = t (b - a) o r = a + t (b - a)

Ecuación vectorial

Espacio tridimensional

Distancia entre dos puntos A = (aX ; aY ; aZ) y B = (bX ; bY ; bZ):

D (AB)= | √ (bX – aX)2 + (bY – aY)2 + (bZ – aZ)2 |

Números directores de la recta AB a cualquier terna (m,n,p) que cumple con:

m = n = p

bX – aX bY – aY bZ – aZ

Vectores tridimensionales

Teniendo un vector a = (aX ; aY ; aZ) definimos:

1. Igualdad entre vectores (aX ; aY ; aZ) = (bX ; bY ; bZ)

aX = bX ; aY = bY ; aZ = bZ

2. Suma de vectores a + b = (aX + bX ; aY + bY ; aZ + bZ)

3. Producto de un vector por un escalar k (aX ; aY ; aZ) = (kaX ; kaY ; kaZ)

Versor: es un vector de modulo uno (i ; j ; k) i = (1;0;0) j = (0;1;0) k = (0;0;1)

Ej.: Vector r = (x;y;z) = r = xi + yj + zk (Ecuación canónica)

Modulo del vector |a| = √aX2 + aY2 + aZ2

El modulo de valor positivo determina la longitud del segmento.

Ecuación de la recta en el espacio

En el espacio tridimensional la ecuación vectorial de una recta r que pasa por un punto a, representada por su vector posición a = (ax ; ay ; az) y tiene dirección c es:

r = a + t.c (Ecuación vectorial)

r = (x ; y ; z) a = (aX ; aY ; aZ) c = (bX – aX ; bY – aY ; bZ – aZ)

Por lo tanto obtenemos la ecuación parametrica:

x = aX + t . cX

y = aY + t . cY

z = aZ + t . cZ

Por eliminación del parámetro t se obtiene la ecuación simétrica.

x – aX y – aY z – aZ

cX cY cZ

Si llegara a faltar cX; cY o cZ eso indica que el plano esta contenido en los ejes restantes.

Dado un vector a = (aX ; aY ; aZ) sus cosenos directores resultan:

cos α = aX cos β = aY cos γ = aZ

|a| |a| |a|

cos α2 + cos β2 + cos γ2 = 1

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas:

Condición de paralelismo: v = k . w donde k es un numero real cualquiera, es decir que los vectores asociados tiene componentes proporcionales.

Condición de Perpendicularidad: exige que los vectores asociados tengan productor escalar 0.

v . w = 0

Alabeadas: Dos rectas son alabeadas cuando no son ni perpendiculares ni paralelas, no tiene ningún punto en común.

Producto Escalar

Sean los vectores a = (aX ; aY ; aZ) y b = (bX ; bY ; bZ) se define el productor escalar a.b como a . b = |a| . |b| . cos θ donde θ es el ángulo formado por los vectores.

El resultado del producto escalar es un numero que se interpreta como el producto de la longitud de uno de los vectores por la proyección del otro sobre el.

El producto escalar cumple las siguientes propiedades:

1. Propiedad conmutativa: a . b = b . a

2. Propiedad distributiva: a . (b + c) = a . b + a . c

3. k ( a . b) = (ka.b)

4. a . a = |a|2

5. a. b = |a| . |b| . cos α

Ejemplo:

u = 2i – j – k v = 3i + 2j + 8k w = -4y +2j – 2k

(u + v) . w

Ecuación del plano

Sea un plano π que pase por el punto P y sea normal a OP = p. Sea Q un punto genérico de π y OQ = r, siendo r = (x ; y ; z). Como Q pertenece a π, entonces PQ = (r - p) pertenece a π, entonces p | (r - p) condición que nos permite escribir -1- (r - p) . p = 0

Si a 1 se le hace distributiva se llega a la ecuación vectorial del plano:

r . uP = |p|

donde uP = p = cos α i + cos β j + cos γ k es el versor de la dirección normal p al

|p| plano π y α β γ son sus ángulos directores.

Entonces como r . uP queda expresada por r . uP = x cos α + y cos β + z cos γ se llega a la ecuación general del plano

-2- A (x - x0) + B (y – y0) + C (z – z0) (Ecuación cartesiana del plano)

Si a 2 lo resolvemos llagamos a:

Ax + By + Cz + D = 0 (Ecuación general del plano)

Ejemplo: Dado el plano π de ecuación: x + 2y + 2z -6 = 0. Hacer un grafico aproximado que muestre su posición en el espacio.

x + 2y + 2z -6 = 0

x + 2y + 2z = 6

x + 2y + 2z = 6

6 6 6 6

x + y + z = 1

6 3 3

Intersección de planos

Sea el plano Ax + By + Cz + D = 0. Sus intersecciones con cada uno de los planos coordenados son las llamadas trazas del plano. Sus ecuación esta dadas por la solución de los sistemas formados por las ecuación del plano y las ecuación de cada plano coordenado.

• Traza sobre plano (x ; y) = Ax + By + D = 0 ; z = 0

• Traza sobre plano (x ; z) = Ax + Cz + D = 0 ; y = 0

• Traza sobre plano (y ; z) = By + Cz + D = 0 ; x = 0

La intersección de dos planos, si existe, es una recta cuyas ecuaciones se obtienen eliminando sucesivamente x e y, para obtener en cada caso las funciones lineales que son las ecuaciones de los planos proyectantes de la intersección.

(En el primer plano se despeja x y se introduce su resultado en el otro plano. Luego de obtenido y en función de z se introduce en x para obtener x en función de z. Quedando así la recta x = bla y = bla z = z)

Paralelismo y perpendicularidad entre planos:

Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos.

π1 // π2 si: A1 = B1 = C1

A2 B2 C2

Dos planos son perpendiculares si el producto escalar de sus vectores normales es igual a cero.

π1 | π2 si: A1 . A2 + B1. B2 + C1 . C2 = 0

Ax + By + Cz + D = 0

Donde A, B, C son las coordenadas del vector normal.

Posiciones relativas de rectas y planos

Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos

Condición de paralelismo: Se

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