Matematica Y Algebra

Álgebra

Rama de las matemáticas en las que se usan letras para representar relaciones aritméticas. Las operaciones fundamentales del álgebra son: Suma, resta, multiplicación, división y cálculo de raíces.

2.1 NUMEROS REALES

Se le llama así a los conjuntos de números racionales, irracionales y enteros.

2.1.1 Números Irracionales

Conjunto de números que no pueden expresarse como cociente de dos enteros.

Ejemplo: √3, -√7, √5∕4

• π ≈ 3,1415926535897932384626433832795...

• 22/7 = 3,1428571428571...

2.1.2 La recta numérica y los números reales

La recta numérica real o recta de coordenadas es una representación geométrica del conjunto de los números reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda).

Ejemplo:

Se construye como sigue: se elige de manera arbitraria un punto de una línea recta para que represente el cero o punto origen. Se elige un punto a una distancia adecuada a la derecha del origen para que represente al número 1. Esto establece la escala de la recta numérica.

2.1.3 Definición de Suma, resta. Multiplicación y división, incluyendo sus propiedades:

Suma:

Es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión (suma), la suma algebraica puede significar disminución o aumento.

Ejemplos:

• -2xy + (-10xy) = -12xy

• 3a + (-b) + 4a = 7a-b

• -n + (-6n) + 4m = -7n + 4m

Propiedades:

La suma es conmutada, lo que indica que el orden de los sumandos no altera el producto. Ejemplo: a+b = b+a

La suma es asociativa, lo que indica que los sumandos pueden agruparse de cualquier modo. Ejemplo: a+(b+c) = (a+b)+c

El 0(cero) es la identidad aditiva de la suma lo que indica que al sumar 0(cero) a cualquier cantidad produce la misma cantidad. Ejemplo: a+0 = a

Al sumar una cifra y su inverso da 0(cero). Ejemplo: a+(-a) = 0

Resta:

Operación que tiene como objeto la resta de un minuendo y un sustraendo. La resta algebraica puede significar disminución o aumento. El restar una cantidad negativa equivales a sumar la misma cantidad negativa.

Ejemplos:

• -8a – 11a = -19a

• 3x – (-5x) = 8x

• 24x – (-6x) = 30x

Multiplicación:

Operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas multiplicando, hallar una tercera cantidad llamada producto.

La regla de los signos según la multiplicación señala:

• El producto de dos números de signos iguales es positivo.

• El producto de dos números de signos desiguales es negativo.

La ley de los exponentes según la multiplicación dice que para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la misma base y se le pone por exponente, la suma se los exponentes de los factores.

Ejemplos:

• 5y * 3y= 15y2

• 6x * 5xy= 30x2y

• 8xy * 9x2y= 72x3y2

Propiedades:

La multiplicación es conmutativa ya que el orden de los factores no altera el producto. Ejemplo: a * 5b=5b * a

La multiplicación es asociativa ya que los factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo. Ejemplo: a(bc) = (ab)c

La multiplicación es distributiva sobre la adición, lo que indica que multiplicar un número y la suma de dos cifras equivale a multiplicar cada cifra por el número y luego sumar los resultados.

Ejemplo: a(b+c) = ab + ac

Multiplicar cualquier número por 1 da el mismo número. Ejemplo: a * 1 = a

División:

Operación que tiene por objeto, dado el producto de un dividendo y un divisor, hallar el cociente.

Cuando el dividendo es cualquier diferente de 0(cero) y el divisor es 0(cero) el cociente no existe. Ejemplo: 2 / 0= No existe

Para la división la regla de los signos señala:

• El cociente de 2 números de signos iguales es positivo.

• El cociente de dos números de signos contrarios es negativo.

La ley de los exponentes establece que para dividir potencias de la misma base, se deja la misma base y se le pone de exponente la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor.

Ejemplos:

• a3/a2 = a

• 6ab / 3a =2b

• a4 / a = a3

2.1.4 Relación de orden entre números reales

Los símbolos mayor que(>) y menor que(<), son signos de desigualdad y las expresiones a>b y a<b se llaman desigualdades.

Se considera que el signo de un número real es positivo, si la cifra es positiva, o negativo si es negativa. Los números tienen signos opuestos, si uno es positivo y el otro negativo. La notación a > b se lee “a es mayor o igual que b”, lo que significa que a>b o a=b, una expresión del tipo a<b<c se denomina desigual continua y quiere decir que a < b y b<c; se dice que “b está entre a y c”

Ejemplo:

• 1<5<11/5

• 3>-6<-10

• -2<0<2

2.1.5 Valor absoluto de un número

Es cuando un numero siempre será positivo, y el numero se encierra en dos paredes, ejemplo |-3| --> +3, eso significa valor absoluto y transforma el numero a positivo (+).Normalmente cuando los números son positivos (+) no se pone el signo (+), en cambio los negativos (-) si se tiene que poner obligatoriamente.

Ejemplo

• / 3 /= 3

• / -3 /= -(-3)

2.1.6 Distintas formas de representación de intervalos en la recta numérica

2.1.6.1 Intervalos acotados

Un conjunto es acotado cuando existe cota superior y cota inferior (cuando está acotado superiormente y acotado inferiormente).

Cota superior es un número que es mayor que todos los números del intervalo

Cota inferior es un número que es menor que todos los números del intervalo.

Ejemplo:

• (-1.000.000, 12) es acotado

• (-∞, 3) no es acotado, porque no existe cota inferior

2.1.6.2 Intervalos no acotados

Un intervalo no acotado es solo un intervalo que no entra en la definición de acotado. En general cuando uno de los límites es infinito.

Ejemplo:

• No acotado: (2;inf) (-inf;10]

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