Medidas Estadisticas

MEDIDAS ESTADÍSTICAS UNIVARIANTES

1.1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Al ver la forma de representar los conjuntos de datos en histogramas y polígonos de frecuencia se puso de relieve un comportamiento peculiar de estos, y es el de mostrar una tendencia a agruparse alrededor de los datos más frecuentes, haciendo de esta forma que estas representaciones adquieran una forma de campana. Esta tendencia al agrupamiento de los datos hacia la parte central de los gráficos que los representan da lugar a lo que se conoce como medidas de tendencia central, correspondientes a la media, mediana y moda

1.1.1. Media aritmética

Es la medida más conocida y la más fácil de calcular. Se define como la suma de los valores de una cantidad dada de números dividido entre la cantidad de números.

donde:

n = cantidad de elementos

Xi = valor de cada elemento

= media aritmética, o simplemente media

El precio de la bolsa de un litro de leche en diferentes supermercados fue: $1.300, $1.350, $1.250, $1.400 y $1.325. El valor promedio o media aritmética es entonces:

La media aritmética tiene la propiedad de asignar a cada elemento de la suma el mismo valor, o sea el valor promedio.

Si se conoce el valor de la media y el número n de elementos u observaciones, se puede conocer el valor de la suma total multiplicando la media por el número de elementos. Esto es:

Las ventas de un almacén durante el primer semestre del año fueron $3’422.000; hallar el total de ventas de este período de tiempo.

Venta total primer semestre = 6 x (3’422.000) = $20’532.000

También puede suceder que los elementos que se analizan se encuentren agrupados, en este caso para encontrar el valor de la media aritmética se debe realizar la ponderación de estos elementos agrupados, es decir, encontrar el peso que le corresponde a cada valor. Esto da lugar a la media aritmética ponderada.

Un agricultor vende la cosecha de papas de la siguiente forma: 30 sacos a $256.000, 18 sacos a $264.000 y 25 sacos a $261.500. ¿Cuál es el precio promedio del saco de papa vendida por el agricultor?

Precio promedio saco de papa = =$259.856

La media ponderada se halla al realizar el cociente entre la suma de los productos de los valores por sus respectivos pesos y la suma de los pesos. El caso general se expresa así:

Siendo X1 X2,… Xn, las cantidades ponderadas y m1, m2,,…, mn los pesos o ponderaciones.

Un caso similar al anterior consiste en la media de una distribución de frecuencias agrupadas, donde los pesos o ponderaciones corresponderían a las frecuencias de los valores de las marcas de clase, recordando que la marca de clase es el valor promedio de un intervalo de clase. Esta similitud entre la media de una distribución de frecuencias agrupadas y la media aritmética ponderada se muestra en el siguiente ejemplo.

Dada la siguiente distribución de frecuencias agrupadas, calcule su correspondiente media aritmética:

Tabla 1.1.

Distribución de frecuencias agrupadas

Intervalo Marca de clase

X Frecuencia

f f .X

16-20 18 4 72

21-25 23 6 138

26-30 28 7 196

31-35 33 5 165

36-40 38 3 114

Total 25 685

De lo anterior puede verse que:

Dada la importancia que tiene el cálculo de la media aritmética y su frecuente uso, se hace necesario considerar algunas de sus propiedades:

• La suma de las desviaciones respecto a la media aritmética es igual a cero.

Una desviación es la diferencia que se presenta entre los valores que toma la variable y un valor constate, en este caso es la media aritmética. Esta propiedad, al igual que las demás, es válida para datos agrupados o no agrupados. Y en términos aritméticos ella plantea:

Tenga en cuenta que cuando los datos están agrupados en una tabla de frecuencias, las desviaciones con respecto a la media deben ponderarse. Si la distribución es simétrica no hay necesidad de ponderar.

• La suma de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media es siempre menor que la suma de los cuadrados de las desviaciones con respecto a cualquier otro valor.

Esto quiere decir que sólo la media aritmética hace mínima la suma de los cuadrados de las desviaciones en torno a ella. Esta importante propiedad se retomará más adelante cuando se estudie regresión lineal y el método de los mínimos cuadrados para ajuste de curvas.

En síntesis, la media o promedio aritmético es la medida de tendencia central más comúnmente usada, además de ser la única de las medidas de tendencia central que permite un tratamiento algebraico. Sin embargo no siempre es recomendable usarla como un promedio, ya que es muy sensible a los valores extremos del conjunto de datos. Por otra parte, la media es ligeramente más difícil de calcular a mano que las otras medidas que se verán en seguida, puesto que requiere sumar todo el conjunto de datos, que bien podrían ser bastantes, y dividir entre el número de elementos del conjunto.

1.1.2. Mediana

Se define como el valor que divide una distribución de datos ordenados en dos mitades, es decir, se encuentra en el centro de la distribución.

La mediana se simboliza como Me. Es menos usada que la media aritmética. Para su cálculo es necesario que los datos estén ordenados. Cuando la cantidad de datos es impar, fácilmente se identifica la mediana; pero cuando el número de datos es par, la mediana se calcula hallando el valor medio entre los dos valores centrales y no coincidirá con ninguno de los valores del conjunto de datos.

a. Dados los valores: 19, 15, 23, 28, 14, 26, 18, 20, 30, determinar su media.

Lo primero que debe hacerse es ordenar los datos:

14 15 18 19 20 23 26 28 30

Como el número de datos es 9, el valor del medio de estos datos es la mediana, puesto que deja cuatro valores por debajo y cuatro valores por encima. Este valor es 20.

b. Hallar la media del siguiente conjunto de datos ordenados:

14 15 18 19 20 23 26 28 30 32

Observe que son 10 datos, un número par de datos. En este caso se toman los dos valores del medio y se promedian:

Cuando los datos se encuentran agrupados, se calcula el valor de y con él se busca, en las frecuencias acumuladas, el intervalo de clase en donde este se encuentra o se aproxime mejor. Esta clase recibe el nombre de clase de la mediana. Identificada la clase de la mediana, se considera que los valores en esa clase se distribuyen uniformemente de modo que se pueda calcular la mediana por el método de la interpolación lineal. En el siguiente ejemplo se describe paso a paso el cálculo de esta medida de tendencia central.

Tomando la tabla 1.1 de distribución de frecuencias agrupadas del ejemplo 1.4. de esta unidad didáctica, calcular la mediana del conjunto de datos.

Primero se identifica la clase de la mediana (la clase que contiene a la mediana).

La clase de la mediana es (26-30), pues el número de frecuencias acumuladas es el valor más cercano a 12.5.

Tabla 1.2.

Distribución de frecuencias agrupadas

Intervalo Frecuencia

f Frecuencia acumulada

16-20 4 4

21-25 6 10

26-30 7 17

31-35 5 22

36-40 3 25

Total 25

Hay 10 observaciones por debajo del límite inferior de la clase de la mediana.

El valor de 2.5 se interpola en el ancho o amplitud de la clase de la mediana que es 4.

Frecuencia absoluta Ancho de clase

7

4

2.5

X

Así pues, la mediana se encontrará 1.4 unidades más del límite inferior de la clase de la mediana:

En muchas referencias bibliográficas se expone una ecuación para el cálculo de la mediana cuando los datos se encuentran agrupados. Ella se deriva del análisis hecho en el ejemplo anterior y se describe de la siguiente manera:

Donde:

n es el tamaño de la muestra o la suma de todas las frecuencias.

Fk-1 es la frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior de la clase de la mediana.

fk es la frecuencia absoluta de la clase de la mediana.

Ak es la amplitud de la clase de la mediana.

Lk es el límite real inferior de la clase de la mediana.

Determine la mediana de la distribución de frecuencias agrupadas del ejemplo 1.6., haciendo uso de la ecuación para su cálculo.

Primero, se identifica cada valor:

n = 25

Fk-1 = 10

fk = 7

Ak = 4

Lk = 26

Otra manera para hallar la mediana de un conjunto de datos agrupados es el método gráfico.

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