Metodo De Transporte

♦ UNIDAD VI. MODELO DE TRANSPORTE

Introducción.

En problemas reales de programación lineal, en ocasiones las restricciones generan un tipo particular de estructura la cual es llamada “Estructura de Distribución o Transporte”. Este tipo de problemas se pueden resolver mediante el Método Simplex, pero existe inconveniencia de que estos problemas contienen gran cantidad de restricciones y variables, por lo que se requiere mucho trabajo para la optimización, de tal manera es mas conveniente utilizar Métodos de Distribución que son simplificaciones del Método

Simplex basándose en la estructura ya mencionada. Para poder plantear una solución mediante los Modelos de Distribución, el problema consiste en distribuir recursos de un conjunto de orígenes hacia un grupo de destinos, donde se debe satisfacer la demanda requerida en cada punto de los destinos y la oferta debe ser igual a la demanda. El objetivo es minimizar los costos totales de distribución.

A continuación, mediante un ejemplo, se explicara como obtener la Matriz de Distribución y se indicara la forma que toma la estructura de Distribución que presentan una serie de ecuaciones lineales (restricciones).

Ejemplo: una compañía tiene tres fabricas (1, 2, 3) distribuidas en tres estados diferentes, se desea encontrar la forma mas económica de abastecer tres zonas de consumo (1, 2, 3). Se supone que la oferta es igual que la demanda. La capacidad de producción de las fábricas y la demanda en las zonas de consumo es como sigue:

Fabricas Capacidad de Producción Zona de Consumo Demanda

1 b1 1 d1

2 b2 2 d2

3 b3 3 d3

Oferta Total ∑ bi Demanda Total ∑ di

Fabricas

Demanda Capacidad de

Producción Zona de

Consumo

d1 1 b1 1

d2 2 b2 2

d3 3 b3 3

En la tabla 9.1 se muestran los costos de distribución unitarios de una fabrica a una zona de consumo y los requerimientos (por ejemplo, el costo de mandar de la fabrica 2 a la de consumo 2 es C22).

Obtención de la matriz de distribución; es si viene siendo la Tabla 9.1, por lo tanto explicándola por pasos nos queda:

- Las filas son las fabricas y al extremo de las filas las ofertas disponibles en ellas.

- Las columnas son las zonas de consumo y al final de las columnas las demandas de cada una de ellas.

- El costo de mandar una unidad de la fábrica a la zona de consumo, es la intersección de cada fila y columna, y estos costos se ponen en la matriz de Distribución en la parte superior derecha de las casillas.

- La suma de las ofertas debe ser igual a la suma de las demandas, y estas se colocan en la última casilla inferior derecha.

Siguiendo los puntos anteriores, la Matriz de Distribución nos queda de la siguiente manera:

Demanda

Oferta 1 2 3

1

x C11 x C12 x C13 b1

2

x C21 x C22 x C23 b2

3

C31 x C32 x C33 b3

x

d1 d2 d3 ∑b1

∑ d1

∑d1= ∑b1

Donde Xij (i= 1, 2,3; j = 1, 2,3), es el numero de unidades a distribuir e la fabrica i a la zona de consumo j.

Una vez obtenida la matriz de distribución, se le pueden asignar valores alas casillas X11,X12,X13,……X.31,X32,X33, para encontrar la distribución optima (los valores asignados alas casillas deben de ser mayor o igual a cero). Y como último, la suma de los valores asignados por fila deben de ser igual a la oferta de dicha fila y los valores asignados por columna deben de ser igual a la demanda de la columna.

Ahora se determinara la “la estructura de distribución”, que distingue a problemas de programación normal como un problema de Distribución o Transporte.

---La función objetivo Z es la sumatoria de los productos formados por la asignación de la casilla y el costo de la misma, y las restricciones son por fila y columnas. Por lo tanto la función objetivo nos queda:

Minimizar Z=C11X11+C12X12+C13X13+C21X21+C22X22+C23X23+C31X31+C32X32+C33X33

La estructura de distribución se obtiene de las restricciones, quedándonos:

X11+X12+X13 = b1(1)

Restricciones

Por fila X21+X22+X23

= b2(2)

X31+X32+X33 = b3(3)

Restricción

Por columna +X1

+X12

+ X13

+X21

+X22

+X23 +X31

+X32

+X33 = b4(4)

= b5(5)

= b6(6)

En el Método Simples (Cáp. 4), se comprobó que solo en los vértices existen posibles soluciones óptimas, por lo tanto el número máximo de variables con valores diferentes a cero es igual al número de ecuaciones independientes.

En las ecuaciones obtenidas anteriormente (restricciones), demostraremos que una de ellas es dependiente a las demás.

Demostraciones: Se puede demostrar cualquiera de las ecuaciones (restricciones), en este caso particular, se encontrará la ecuación (6) a partir de las demás.

Primeramente usamos las ecuaciones (1), (2) y (3), quedándonos

X11+X12+X13+X21+X22+X23+X31+X32+X33 = b1+b2+b3

Después a este resultado le restamos las ecuaciones (4) y (5) y nos quedaría de la siguiente manera:

X11+X12+X13+X21+X22+ X13+X31+X32+X33 = b1 + b2 + b3

- X11 -X12 - X21 - X22 -X31 - X32 = - d1 - d2

X13 X13 X33 = b1 + b2 + b3 - d1 - d2 (7)

Anteriormente se dijo que las sumas de las demandas es igual a la suma de las ofertas, o sea:

∑ di = ∑ bi que es igual a d1 + d2 + d3 = b1 + b2 + b3

Y si queremos obtener d3 nos queda d3 = b1 + b2 + b3 - d1 - d2

Sustituyendo en la ecuación (7) nos queda la ecuación (6)

X13 + X13 + X33 = d3

Como en los problemas de distribución se forman ecuaciones por medio de las filas y columnas, y como se tienen “m” filas y “n” columnas, por lo tanto se forman m + n ecuaciones, pero como se observo anteriormente sólo m + n-1 serán independientes. Esto nos quiere decir que en la matriz de distribución sólo se podrá tener m + n-1 asignaciones diferentes de cero.

» Métodos de distribución inicial

El objetivo de los Métodos de Distribución Inicial es obtener una solución básica factible inicial (que cumpla con los requerimientos de oferta y demanda). Existen varios mecanismos para la distribución inicial, aquí veremos cuatro de ellas, las cuales son:

• Esquina Noroeste.

• Costo Menor.

• Mutuamente Preferido.

• Vogel.

» Distribución inicial por el método de la esquina noroeste.

La distribución inicial de la Esquina Noroeste, tiene la ventaja de ser sencillo en realizarse, pero tiene una gran desventaja, que este método para su distribución se basa en la posición de las casillas y no en las contribuciones de las mismas, debido a esto, esta distribución nos puede dejar muy lejos o muy cerca de la solución optima con respecto al costo. Por lo tanto, a este método se le considera el menos probable para darnos una buena solución inicial con respecto a los costos.

A continuación se describen los pasos de cómo hacer la distribución inicial de la esquina noroeste (se vera un ejemplo para todos los métodos)

Paso 1. Se inicia la asignación por la casilla que se encuentra en la esquina noroeste de la tabla, se le asigna a ésta todo lo necesario con lo cual al menos quede satisfecha la demanda de la columna o agotada la oferta de la fila, por lo que se debe eliminar por lo menos una de ella.

Paso 2. Se continúa la asignación en la casilla contigua a la seleccionada en el paso anterior sobre la fila o columna no eliminada, asignando la mayor cantidad posible a esta casilla y eliminando la fila o columna que en este caso se requiera.

Paso 3. Al igual que el paso 2, se continúa la 3ra, 4ta, …., n-ésima casilla, considerando siempre solo la fila o columna no eliminada en la asignación anterior, hasta terminar en la esquina sureste de la tabla.

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