Mínimo común múltiplo.

Mínimo común múltiplo

En matemáticas, el mínimo común múltiplo (abreviado m.c.m), de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo común de todos ellos (o el ínfimo del conjunto de los múltiplos comunes). Este concepto ha estado ligado históricamente con números naturales, pero se puede usar para enteros negativos o enteros gaussianos.

Índice

Cálculo del mínimo común múltiplo (m.c.m)        Editar

Partiendo de 2 o más números y por descomposición en factores primos, expresados como producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar todos los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia, por ejemplo el mcm de 72 y 50 será:

Propiedades básicas        Editar

Si el producto de dos números lo dividimos por su máximo común divisor dicho cociente es el mínimo común múltiplo está repetido dos veces, luego si dividimos ese total por (p1·p2) tendremos el total menor que contiene a A y B siendo su mcm

El mínimo común múltiplo de dos números, donde el menor divide al mayor, será el mayor. Es lógico ya que un múltiplo de ambos inferior al mayor sería imposible ya que no sería múltiplo del mayor.

El mínimo común múltiplo de dos números primos es el total de su multiplicación. Esto es lógico ya que su máximo común divisor es 1.

El mínimo común múltiplo de dos números compuestos será igual al cociente entre su producto y el m.c.d de ellos. Es evidente según la propiedad 1 de este tema.

El máximo común divisor de varios números es un divisor del mínimo común múltiplo de tales números.[4]

Sea mZ el conjunto de los múltiplos del entero m, nZ el del entero n. Entonces el conjunto nZ∩mZ está formado por los múltiplos comunes de m y n; en otra notación es el conjunto [m,n]Z.[5]

Aplicaciones del mínimo común múltiplo        Editar

Suma de fracciones        Editar

Véase también: Mínimo común denominador

Véase también: Fracción

El mcm se puede emplear para sumar o restar fracciones de distinto denominador, tomando el mcm de los denominadores de las fracciones, y convirtiéndolas en fracciones equivalentes que puedan ser sumadas. Véase el siguiente ejemplo:

1 6 + 4 33 {\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {4}{33}}} {\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {4}{33}}}

Para poder efectuar la suma, primero se debe buscar el mínimo común múltiplo de los denominadores (6 y 33)

Divisores 6 33.svg

6 2 3 3 1 {\displaystyle {\begin{array}{r|l}6&2\\3&3\\1&\end{array}}} {\displaystyle {\begin{array}{r|l}6&2\\3&3\\1&\end{array}}}

6 = 2 ⋅ 3 {\displaystyle 6=2\cdot 3\,} {\displaystyle 6=2\cdot 3\,}

33 3 11 11 1 {\displaystyle {\begin{array}{r|l}33&3\\11&11\\1&\end{array}}} {\displaystyle {\begin{array}{r|l}33&3\\11&11\\1&\end{array}}}

33 = 3 ⋅ 11 {\displaystyle 33=3\cdot 11\,} {\displaystyle 33=3\cdot 11\,}

luluemcm ⁡ ( 6 , 33 ) = 2 ⋅ 3 ⋅ 11 = 66 {\displaystyle \operatorname {mcm} (6,33)=2\cdot 3\cdot 11=66} {\displaystyle \operatorname {mcm} (6,33)=2\cdot 3\cdot 11=66}

que corresponde al número 66; ambas fracciones tendrán como denominador 66, ahora sólo hay que hallar a cada fracción su fracción equivalente, con denominador 66 y será posible la suma:

Expresiones algebraicas        Editar

El m.c.m. para dos expresiones algebraicas, corresponde a la expresión algebraica dmenor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas. Esta teoría es de suma importancia para las fracciones y ecuaciones.

Algoritmo de cálculo        Editar

Para más de dos números, un algoritmo es el siguiente:

Descomponer cada uno de los números en un producto de potencias de factores primos.Por ejemplo, la descomposición factorial de 324 es 22·34.

De entre todos las potencias de factores primos, se eligen todos los existentes, y dentro de los comunes a todos los números, los de mayor potencia. (Es muy conveniente disponer las factorizaciones de manera tabular o matricial para evitar despistes al realizar el ejercicio).

Multiplicar todos los factores elegidos.

Por ejemplo, calculando el mcm(324,16,7,5) La descomposición de 324 es 22·34; la descomposición de 16 es: 24; la descomposición de 7 es 7 y la descomposición de 5 es 5.

[ 324 = 2 2 3 4 16 = 2 4 5 = 5 7 = 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}324=&2^{2}&3^{4}&&\\16=&2^{4}&&\\5=&&&5&\\7=&&&&7\end{bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}324=&2^{2}&3^{4}&&\\16=&2^{4}&&\\5=&&&5&\\7=&&&&7\end{bmatrix}}}

Por tanto, obtenemos el mcm: 24·34·7·5 = 45360.

Generalización del concepto de m.c.m. y m.c.d.        Editar

El concepto de m.c.m. y de m.c.d. se puede extender a las fracciones o números racionales positivos.[7] Estrictamente hablando cualquier número racional divide a otro racional y no existe un racional mayor o menor que todos. No obstante, la extensión aquí descrita tiene interés en algunos problemas y está relacionada con la teoría de anillos, ideales, identidad de Bézout, teorema de Krull, etc.

En el caso de la aritmética clásica elemental sería de aplicación en el siguiente ejemplo. Sean 3 corredores dando vueltas a un circuito, si en cada vuelta el primero saca 1/3 de vuelta al segundo y 2/7 al tercero. ¿cuándo volverán a coincidir en la meta los tres corredores?. También sería de aplicación en problemas de ruedas dentadas, etc.

Sean dos fracciones a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} \frac{a}{b} y c d {\displaystyle {\frac {c}{d}}} {\displaystyle {\frac {c}{d}}} irreducibles

La descomposición en factores primos de a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} a, b, c, d. Entonces

∏ i p i max ( e i ( a ) , e i ( c ) ) ∏ i p i min ( e i ( b ) , e i ( d ) ) {\displaystyle {\frac {\prod _{i}p_{i}^{\max(e_{i}(a),e_{i}(c))}}{\prod _{i}p_{i}^{\min(e_{i}(b),e_{i}(d))}}}} {\displaystyle {\frac {\prod _{i}p_{i}^{\max(e_{i}(a),e_{i}(c))}}{\prod _{i}p_{i}^{\min(e_{i}(b),e_{i}(d))}}}}

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