NUMERICO

ACTIVIDADES

a) Escribe un concepto de sucesión:

Una sucesión numérica es un conjunto ordenado de números. Toda sucesión tiene una propiedad o ley de formación de sus elementos.

Todas las sucesiones tienen una ley de formación de sus elementos, que puede ser infinita o finita según a la propiedad que obedezcan.

b) Escribe la diferencia entre las sucesiones convergente y divergente:

• Sucesiones Convergente:

Toda sucesión que tenga límite se dice que es convergente. Una sucesión (an ) que tenga por límite I, se dirá que tiende a I o que converge a I.

• Sucesiones Divergentes:

Una sucesión es divergente si los términos se aproximan cada vez más a infinito o a menos infinito (+ó ).

c) Redacta los criterios de series convergentes y divergentes:

Criterios de Convergencia y Divergencia:

Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge (u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de qué tipo es (convergente o divergente).

Condición del resto:

Para que una serie sea divergente, una con dicción suficiente es que, sin embargo, si resulta que, entonces la condición no da criterio acerca de su convergencia o divergencia y se tendrá que buscar métodos distintos para averiguar si converge o diverge.

Esta afirmación es muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el límite es distinto de cero

Criterios de Divergencias de series de términos positivos:

Criterio de comparación.

Si ∑ n=1 ∞    a n y ∑ n=1 ∞    b n son dos series de términos positivos verificando

a n ≤ b n           ∀n∈ℕ salvo un número finito, entonces

a) Si ∑ n=1 ∞    b n es convergente, entonces ∑ n=1 ∞    a n también es convergente.

b) Si ∑ n=1 ∞    a n es divergente, entonces ∑ n=1 ∞    b n también es divergente.

Criterio de comparación por paso al límite.

Se consideran las series ∑ n=1 ∞    a n y ∑ n=1 ∞    b n . Entonces

a) Si Si lim⁡ n→∞ a n b n =λ≠{     0    ∞ ambas series tienen el mismo carácter.

b) Si lim⁡ n→∞ a n b n =0 y la serie ∑ n=1 ∞    b n es convergente, entonces ∑ n=1 ∞    a n es convergente.

c) Si lim⁡ n→∞ a n b n =∞ y la serie ∑ n=1 ∞    b n es divergente, entonces ∑ n=1 ∞    a n es divergente.

Criterios de Convergencia:

Convergencia incondicional de una serie es el análogo a la propiedad conmutativa para una suma infinita. Una serie es incondicionalmente convergente si se puede sumar en cualquier orden y el resultado siempre es el mismo. Este es el motivo de que en algunos textos se hable de series conmutativamente convergentes.

La convergencia absoluta y la convergencia incondicional son condiciones más fuertes que la convergencia de una serie. El siguiente resultado nos dice que están relacionadas.

En la práctica, es sumamente difícil comprobar la convergencia incondicional de una serie directamente. No es sencillo trabajar con todas las reordenaciones posibles de una sucesión de números reales. Lo que sí haremos es estudiar la convergencia absoluta.

El primer criterio y, posiblemente, el más importante que vamos a utilizar en el estudio de la convergencia de series de números reales es el criterio de comparación. Esencialmente nos dice que si una serie se puede sumar también se puede sumar otra más pequeña y, recíprocamente, si una serie no se puede sumar, otra mayor tampoco se puede.

Si aplicamos el criterio de comparación tomando bn = j an j, se obtiene que las series absolutamente convergentes son convergentes, esto es, una de las implicaciones del teorema de Riemann.

El recíproco del criterio de comparación no es cierto.

Es convergente pero no absolutamente convergente.

Dado que la serie

P (1)

n

n

No es incondicionalmente convergente, si la sumamos en distinto orden nos puede dar un resultado diferente pero ¿cuántos?. La respuesta es que muchos. Más concretamente, la serie se puede reordenar de forma que su suma sea el número real que queramos

d) Escribe las relaciones que se deben tener en cuenta en los cálculos de límites:

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales,

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