Operaciones Polinomicas

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO “ALONSO GAMERO”

DEPARTAMENTO DE QUIMICA

CATEDRA: MATEMATICA

Elaborado por:

Ana, Camacho C.I: 9.251.573

Kenny, Cordoba C.I: 16.942.889

Romer, Pereira C.I: 15.311.758

Anner, Navarro C.I:

Santa Ana de Coro; Abril de 2011

INTRODUCCION

Actualmente las expresiones algebraicas que involucra solamente operaciones de suma, resta, multiplicación y división, involucran números naturales con variables y constantes, estas operaciones son denominadas polinomios. Un Polinomio es una expresión matemática que se obtiene al sumar dos o más monomios (términos), en donde cada monomio se le llama término del polinomio. Si tiene dos términos se llama binomio; si tiene tres términos trinomios, y así sucesivamente.

El polinomio esta compuesto por un anillo conmutativo, siendo utilizada solamente en operaciones de adición, sustracción, multiplicación y potenciación con exponentes. Para definir estas operaciones se consideran la suma y restas por agrupación de los términos y simplificando los monomios semejantes, la multiplicación por el múltiplo de cada término, a través de la propiedad distributiva, y por ultimo la división, al dividir los términos del polinomios tomando en cuenta el grado del termino, el divisor y el dividendo.

Durante el desarrollo de este trabajo se podrá considerar las muchas posibilidades de resolver una ecuación polinomica y sus términos, identificando así el tipo de polinomio involucrado en la ecuación y las operaciones matemáticas involucradas que serán tomadas para su resolución.

TERMINOS BASICOS

Polinomio: Son dos o más expresiones algebraicas que se obtiene mediante el uso de constantes, variables y operaciones, como por ejemplo una suma o resta de monomios no semejantes. Con más de tres términos (monomios) ya se denomina en general polinomio.

En un polinomio, la variable no puede aparecer en el denominador, como exponente ni dentro de un radical.

Es una expresión matemática obtenida al expresar cualquier suma de monomios no semejantes, la suma de monomios, cuando estos no eran semejantes, no se podían sumar. En este caso lo que se obtiene es por tanto un polinomio.

Son polinomios las expresiones siguientes:

a) 4ax4y3 + x2y + 3ab2y3

b) 4x4 -2x3 + 3x2 - 2x + 5

Ejemplo:

4ax4y3 + x2y + 3ab2y3

En este caso el polinomio consta de la suma de tres monomios, cada uno de ellos es un término del polinomio, luego tiene tres términos., cada uno con varias letras.

Clases polinomios:

Monomio: es un polinomio con un término, ejemplo: (5x3).

Binomio: es un polinomio con dos términos, cuando un polinomio consta de dos monomios. Ejemplo (5y2 - 3x).

Trinomio: es un polinomio con tres términos, cuando consta de tres monomios se denomina trinomio. Ejemplo (6xy - 2r2s + 4r).

Polinomio opuesto: se dicen que son opuestos si sus coeficientes, de igual grado, son opuestos. Para indicar que es el polinomio opuesto se ubica un signo "−" delante del polinomio.

Ejemplo:

Sea P(x) = x2 + 3x – 4 (es opuesto a)

− P(x) = − x2 – 3x + 4

Polinomio opuesto de P(x): es -P(x) y se obtiene cambiando de signo todos los coeficientes de P(x).

Igualdad de polinomios: Dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y sus coeficientes de igual grado, son iguales. Aunque los polinomios pueden tener varias variables en diferentes términos, en este apunte sólo se tratarán los polinomios que tienen una sola variable indeterminada.

Polinomios completos: es aquel polinomio que tienes todos sus grados en forma consecutiva desde la mayor hasta el cero o viceversa o en forma desordenada.

Polinomios homogéneos: son aquellos que constan de términos monomios tienen igual grado.

Polinomios heterogéneos: es aquel polinomio que consta de una variable llamada orden matriz la cual los exponentes de dicha variable van aumentando o disminuyendo según sus grados.

Polinomios idénticos: son aquellos polinomios que tienen igual coeficiente y parte literal.

Polinomios idénticamente nulos: es aquel polinomio que tiene como coeficientes de todos sus términos el 0.

Polinomio de grado n: es completo cuando contiene todos los monomios de grado inferior a n, y es ordenado cuando los monomios se expresan de forma creciente o decreciente. Por ejemplo, P(x) = 2x3 - 3x2 + 1 no es completo porque no contiene ningún monomio de primer grado.

Grado de un polinomio: es el mayor de los grados de los monomios que lo componen cuando el polinomio se ha puesto en forma reducida.

Ejemplo:

P(x) = x2 + 3x – 4 Polinomio de grado 2

R(x) = 3 Polinomio de grado 0

Q(x) = x5 + 7 x3 – 2 Polinomio de grado 5

M(x) = 0 Polinomio nulo.

Grado de un polinomio reducido: es el grado del término de mayor grado. Por ejemplo, el grado de P(x) = 2x3 - 3x2 - 1 es 3.

Clasificación de los grados de un polinomio:

Grado Relativo: este grado es el término que tiene mayor exponente de de todo el polinomio.

Grado Absoluto: El grado de un polinomio es el mayor exponente de sus términos, la suma de todos los grados relativos, exponentes o letras de cada variable.

Ejemplo: 4a3b2 --> a con exponente 3; y b con exponente 2. Entonces:

GA = 3 +2 = 5 (el Grado Absoluto es 5).

Grado de un monomio: grado relativo, grado absoluto.

Grado relativo: es el exponente que tiene una variable.

Ejemplo:

4a3b2 --> a con exponente 3 y b con exponente 2

El grado relativo será el exponente que afecta a cada letra. GR(a) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3) y el GR(b) = 2 (el Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)

Valor numérico de un polinomio: es el número que se obtiene al sustituir la x por un valor dado y efectuar, luego, las operaciones indicadas.

Ejemplo:

Sea P(x) = x2 + 3x – 4

Hallar P(2) ⇒ P(2) = 2.2 + 3.2 – 4 ⇒ P(2) = 4 + 6 – 4 ⇒

P(2) = 6

Constantes: es un término que no contiene variables y los coeficientes que acompañan a las variables, no pudiendo estos variar su valor.

Ejemplo:

3x2 + 9x + 8 En este caso, la constante es 8, ya que es el único término sin variables.

Expresiones algebraicas: son formadas mediante el uso de constantes, variables y las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, uso de exponentes y buscando raíces.

Término: es una expresión que está separada por los signos de suma o resta.

Ejemplo:

3x2 - 4x

3x2 es un término. -4x es otro término.

Términos similares: son términos cuyas variables (y sus exponentes como el 2 en x2) son los mismos. En otras palabras, términos que "se parecen".

La expresión P(x, y): es un polinomio de dos variables x e y. P(x, y) = 2x2y - 3xy2 + 7xy - 2 es un polinomio de dos variables, x e y.

Decimos que un polinomio es reducido cuando no tiene monomios semejantes. Así, el polinomio P(x) = 2x3 + 3x3 - 3x2 + 5x2 - 1 lo podemos reducir sumando sus monomios semejantes: P(x) = 2x3 + 3x3 - 3x2 + 5x2 - 1 = 5x3 + 2x2 - 1

Término Independiente: Se le denomina término independiente al término del polinomio que sólo consta de un número.

Término independiente de un polinomio reducido: es el monomio de grado 0. En el polinomio anterior, el término independiente es -1.

Forma reducida de un polinomio: es aquella en la que se ha simplificado y o sumando los términos semejantes.

Ejemplo:

El número X=2 es una raíz del polinomio X2+X-6 ya que al sustituir la X por 2, el valor numérico del polinomio es cero.

Ley de los Signos

+ por + = +

+ por - = -

- por + = -

- por - = +

ADICIÓN DE POLINOMIOS

Para sumar polinomios, es necesario que sean monomios y términos semejantes, y el resultado es otro monomio semejante cuyo coeficiente es la suma de coeficientes.

Los polinomios se suman agrupando los términos de uno y otro y simplificando los monomios semejantes (del mismo grado). Para realizar en la práctica la suma de dos polinomios se sitúan uno sobre otro haciendo coincidir en la misma columna los términos de igual grado, con lo que la simplificación de términos semejantes es automática. Pero puede hacerse más fácil la operación reuniendo los términos de igual grado y sumarlos o restarlos según su signo.

La adición de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa.

El polinomio cero es el número 0, pues sumado con cualquier polinomio no lo altera, por lo que es el elemento neutro de la suma. Todo polinomio tiene un opuesto, que se obtiene cambiando el signo de todos sus monomios.

En la adición de polinomios se toma en cuenta la suma de los términos semejantes. La forma tradicional de realizar esta operación se conoce como adición horizontal; otro método conocido es la adición vertical.

En algunos casos los polinomios sumados pueden

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