PROGRAMACIÓN Y MÉTODOS NUMÉRICOS.

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA Y MÉTODOS INFORMÁTICOS

Asignatura: PROGRAMACIÓN Y MÉTODOS NUMÉRICOS

Tema: INTERPOLACIÓN POLINÓMICA

Prof. Carlos Conde Lázaro Prof. Arturo Hidalgo López Prof. Alfredo López Benito

Marzo, 2007

ÍNDICE

Pág.

1. INTRODUCCIÓN HISTÓRICA. ............................................ 1

2. INTERPOLACIÓN POLINÓMICA DE LAGRANGE. .................. 13 2.1. La fórmula de interpolación de Lagrange. ................... 17 2.2. La fórmula del error en la interpolación de Lagrange. ... . 25 2.3. La fórmula de interpolación de Newton. ..................... 43 2.4. Interpolación con soportes equidistantes: fórmulas con

diferencias finitas. .............................................. 62

3. INTERPOLACIÓN POLINÓMICA DE HERMITE. .................... 80

3.1. Interpolación de Hermite de primer orden: la fórmula de

interpolación de Hermite. ..................................... 84 3.2. Interpolación polinómica de Hermite: caso general. ...... 92 3.3. Análisis del error en la interpolación de Hermite. .......... 106 3.4. Interpolación de Hermite: la fórmula de Newton. ........... 112 3.4.1. Planteamiento. .......................................... 112 3.4.2. Generalización del concepto de diferencia

dividida. .................................................... 117 3.4.3. La fórmula de Newton para el cálculo del polino-

mio interpolador de Hermite. ......................... 129 3.4.4. ANEXO: Otra forma de definir las diferencias

divididas con puntos repetidos. ...................... 135

BIBLIOGRAFÍA SOBRE EL TEMA. ............................................ 143

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Programación y Métodos Numéricos Interpolación polinómica

1. Introducción histórica

En numerosos procesos físicos y técnicos debe trabajarse con funciones de las que tan sólo se conoce su valor (o el de sus derivadas) en un número finito de puntos –llamado soporte- pero de las que es desconocida la expresión a la que responden. Una de las maneras más extendidas para operar con dichas funciones consiste en aproximarlas por otras funciones, de expresión conocida (y, en la medida de lo posible, fácil de manipular). Una de las formas en que se puede buscar esta función aproximada consiste en obligar a que la función aproximadora (o sus derivadas) tome en los puntos del soporte los mismos valores que la función que se quiere aproximar. En tal caso se dice que se ha interpolado la función original siendo la función interpoladora aquella que la aproxima.

Las técnicas de interpolación pueden clasificarse, en una primera subdivisión, según el tipo de expresiones con las que se busque la función interpoladora. Así existe la interpolación polinomial o polinómica (en la que las funciones interpoladoras son polinomios), la interpolación trigonométrica (cuando la función interpoladora es una combinación de funciones trigonométricas), la interpolación exponencial (si las funciones interpoladoras son una combinación de exponenciales), etc.... De entre todas ellas, las más frecuentemente utilizadas son la interpolación polinómica y, en menor medida, la trigonométrica. Al estudio de la primera de ellas dedicaremos este tema.

Aun sin el desarrollo de una teoría rigurosa, el uso de la interpolación polinómica se pierde en la historia de los tiempos. Recordemos por ejemplo

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Interpolación polinómica. Carlos Conde, Arturo Hidalgo, Alfredo López ETSI Minas de la Universidad Politécnica de Madrid

que numerosos matemáticos griegos calcularon aproximaciones del número π interpolando el área del círculo entre los valores de las áreas de dos polígonos regulares de n lados, uno inscrito en la circunferencia perimetral del círculo y el otro circunscrito a dicha circunferencia. O que en el siglo IX los matemáticos árabes del califato de Bagdad, sabían resolver ciertas ecuaciones no lineales mediante el método de regula falsi. En cada iteración de dicho método

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, conocidos dos valores de una función f(x i ) y f(x

i+1

) (tales que f(x i )·f(x

i+1

) < 0 ) se debe buscar la recta que interpola a f(x) en los puntos (x i , f(x i )) y (x

i+1

, f(x

i+1

)) para determinar a continuación el punto en que corta al eje de abscisas, reduciéndose así el intervalo de incertidumbre en el que se buscará una raíz de la función f(x).

Pero fue en la misma época en que se fraguó y nació el cálculo infinitesimal en la que se puede considerar que se consolidaron las técnicas de interpolación polinómica y, junto a ellas, las de derivación e integración numérica. Numerosos problemas prácticos, fundamentalmente vinculados al comercio, a la cartografía y a la navegación, exigían en los siglos XVI y XVII el cálculo de áreas encerradas bajo curvas o la determinación de tangentes a una curva en un punto. El primero de dichos problemas, el cálculo de áreas encerradas bajo tramos de curvas, sólo se sabía resolver en casos de curvas muy concretas

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. Del segundo, que antes de esta época se consideraba sin relación con el primero, hubo que esperar a que el matemático francés Pierre de Fermat (Beaumont de Lomagne ,17 de agosto de 1601 – Castres, 12 de enero de 1665) ideara los primeros métodos suficientemente generales para el cálculo de la tangente a una curva en un punto.

Y puesto que sí se sabía calcular el área existente bajo líneas poligonales resulta fácil comprender que el cálculo de las áreas encerradas por otras curvas más generales se comenzase a realizar aproximando aquellas – interpolándolas – mediante líneas poligonales compuestas por segmentos rectilíneos o, a lo sumo, parabólicos.

Como podrá comprobar el lector de los apartados siguientes, las fórmulas y métodos de interpolación, así como los de integración numérica, llevan en

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Consúltense los apuntes sobre los métodos de resolución de ecuaciones no lineales.

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Así por ejemplo, Arquímedes de Siracusa (287 a.C – 212 a.C) encontró una fórmula que permitía calcular el área encerrada bajo un tramo de parábola.

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Programación y Métodos Numéricos Interpolación polinómica

muchos casos el nombre de insignes matemáticos de esta época. Aunque no está muy claro quien fue el primero en utilizar cada una de tales fórmulas (y revisiones históricas modifican a menudo el papel que cada uno de aquellos matemáticos jugó en la determinación de cada fórmula) intentaremos en las líneas siguientes realizar un pequeño esbozo de las contribuciones de los principales matemáticos que dan nombre a las fórmulas más usuales que se encuentran en estos temas.

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