PRUEBAS ESTADISTICAS

INSTITUTO TECNOLOGICO DE MINATITLAN

ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

SIMULACION

PROF: WENDY CARRANZA DIAZ

TEMA: 2.2 PRUEBAS ESTADISTICAS

INTEGRANTES:

* CABAÑAS RAMOS CARLOS ENRIQUE N. CONTROL. 10230442

* ORTIZ DOMINGUEZ PAULINA ASTRID N. CONTROL. 11230449

* MORENO MORTERA IRZA VALERIA N.CONTROL. 10230970

FECHA: 07 DE MARZO DEL 2013

INDICE

INTRODUCCION...................................................... 3

2.2 PRUEBAS ESTADISTICAS...........................................4

2.2.1 DE UNIFORMIDAD. (CHI CUADRADA, 
KOLMOGOROV-SMIMOV).......... 5

2.2.2 DE LA ALEATORIEDAD (CORRIDAD ARRIBA Y DEBAJO DE LA MEDIA Y

LONGITUD DE CORRIDAS)..............................................10

CONLUSION..........................................................14

BIBLIOGRAFIA.......................................................15

INTRODUCCIÓN

Existen pruebas estadísticas que por lo general son utilizadas para

verificar la homogeneidad de las varianzas y comparar .

* Los sistemas reales frecuentemente tienen valores de tiempo y cantidades que varían dentro de un rango y de acuerdo a una función específica de densidad, definida por una distribución de probabilidad. Por ejemplo, si el tiempo que se tarda una máquina en procesar una pieza se distribuye entre 2.2minutos y 4.5 minutos, esto se definirá como una distribución de probabilidad en el modelo de simulación. Durante la simulación, cada vez que una pieza entre a esta máquina y sea procesada, el simulador generará un número al azar entre 2.2 y 4.5 minutos para simular el tiempo de procesamiento de esa pieza. Cada vez que generamos un valor a partir de una distribución, a ese valor se le llama variable aleatoria. Para generar variables aleatorias, es necesario utilizar números aleatorios.

* Los números pseudoaleatorios producidos mediante un programa de computadora no son aleatorios debido a que tales números están completamente determinados por los datos iníciales y tienen una precisión limitada. Sin embargo, en la medida en que esos números pseudoaleatorios pasen determinadas pruebas estadísticas, pueden considerárseles como verdaderos números aleatorios. Las siguientes pruebas son de las más usadas para la comprobación de la aleatoriedad.

*

2.2 PRUEBAS ESTADISTICAS PARA LOS NUMEROS PSEUDOALEATORIOS

Puesto que cualquier variable aleatoria no-uniforme (normal, exponencial, poisson, etc.), es obtenida a partir de números uniformes (0.1), el principal énfasis en pruebas estadísticas deberá ser con respecto al generador de números pseudoaleatorios, ya que cualquier deficiencia estadística en la distribución de la variable aleatoriano-uniforme, se deberá exclusivamente a la utilización de un deficiente generador de números pseudoaleatorios . Por consiguiente, en el presente trabajo se explican algunas de las muchas pruebas estadísticas que han sido desarrolladas para probar la aleatoriedad de los números pseudoaleatorios.

Existen pruebas estadísticas que por lo general son utilizadas para verificar la homogeneidad de las varianzas y comparar pares de medias. El test de Bonferroni, los test estadísticos de igualdad de varianza, la comparación entre medias, los métodos de comparación de pares de media de tratamientos, así, el test de Tukey, el test de T de Student, el test de la amplitud Múltiple de Duncan y el análisis de varianza son los más usados en el análisis de experimentos.

2.2.1 DE UNIFORMIDAD. (CHI CUADRADA, 
KOLMOGOROV-SMIMOV).

Para la uniformidad

* Bondad de ajuste o Ji-cuadrada: X2

* Bondad de ajuste Kolmogorov-Smirnov

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE CHI CUADRADA.

Procedimiento:

1. Generar la muestra de números aleatorios de tamaño N.

2. Subdividir el intervalo [0,1] en n subintervalos.

3. Para cada subintervalo contar la frecuencia observada F0 y calcular la frecuencia esperada FE de números aleatorios, la cual se obtiene dividiendo N/n.

4. Calcular el estadístico de prueba.

5. Comparar el valor calculado X02 contra el valortabulado de la distribución X2, con (n-1) grados de libertad y una significancia ?. Si X02 es menor que X2(n-1),? entonces no se puede rechazar la uniformidad de los números aleatorios.

EJEMPLO 4. Realizar la prueba de bondad de ajuste Ji-cuadrada a la siguiente muestra de tamaño 30 de números aleatorios uniformes

0.15 | 0.31 | 0.81 | 0.48 | 0.01 | 0.60 |

0.26 | 0.34 | 0.70 | 0.31 | 0.07 | 0.06 |

0.33 | 0.49 | 0.77 | 0.04 | 0.43 | 0.92 |

0.25 | 0.83 | 0.68 | 0.97 | 0.11 | 0.00 |

0.18 | 0.11 | 0.03 | 0.59 | 0.25 | 0.55 |

INTERVALO | FE | FO | (FE-FO)2/FE |

0.00 - 0.20 | 6 | 10 | 2.67 |

0.21 - 0.40 | 6 | 7 | 0.17 |

0.41 - 0.60 | 6 | 6 | 0.00 |

0.61 - 0.80 | 6 | 3 | 1.50 |

0.81 - 1.00 | 6 | 4 | 0.67 |

| | | X20=5.01 |

Sea alfa= 5%. Tenemos (5-1) grados de libertad, es decir V=4. El valor en tablas de la distribución Ji cuadrada es:

X24.5% = 9.49

Como X02 es menor que X24.5% es decir; 5.01 es menor que 9.49. entonces no se puede rechazar la uniformidad de los números aleatorios.

PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE KOLMOGOROV-SMIRNOV

Procedimiento

1. Generar una muestra de números aleatorios uniformes de tamaño N.

2. Ordenar dichos números en orden ascendente.

3. Calcular la distribución acumulada de los números generados con la siguiente

expresión

Donde i es la posición que ocupa el número aleatorio Xi en elvector ordenado obtenido en el paso 2.

4. Calcular el estado de prueba Kolmogorov-Smirnov del modo siguiente

Dn = máx | Fn (Xi) – Xi | para toda Xi

5. Si Dn es menor dalfa,n, entonces no se puede rechazar la hipótesis de que los números generados provienen de una distribución uniforme. La distribución de Dnha sido tabulada como una función de n y alfa para cuando Fn (x) = F0 (x).

EJEMPLO. Efectuar la prueba de Kolmogorov – Smirnov a la siguiente muestra de números aleatorios uniformes.

0.15 | 0.31 | 0.81 | 0.48 | 0.01 | 0.60 |

0.26 | 0.34 | 0.70 | 0.31 | 0.07 | 0.06 |

0.33 | 0.49 | 0.77 | 0.04 | 0.43 | 0.92 |

0.25 | 0.83 | 0.68 | 0.97 | 0.11 | 0.00 |

0.18 | 0.11 | 0.03 | 0.59 | 0.25 | 0.55 |

Sustituyendo los valores en las fórmulas correspondientes se tiene que:

i | RNDi | F(RNDi) | RNDi- F (RNDi) |

1 | 0.00 | 0.03 | 0.03 |

2 | 0.01 | 0.07 | 0.06 |

3 | 0.03 | 0.10 | 0.07 |

4 | 0.04 | 0.13 | 0.09 |

5 | 0.06 | 0.17 | 0.11 |

6 | 0.07 | 0.20 | 0.13 |

7 | 0.11 | 0.23 | 0.12 |

8 | 0.11 | 0.27 | 0.16 |

9 | 0.15 | 0.30 | 0.15 |

10 | 0.18 | 0.33 | 0.15 |

11 | 0.25 | 0.36 | 0.11 |

12 | 0.25 | 0.40 | 0.15 |

13 | 0.26 | 0.43 | 0.17 |

14 | 0.31 | 0.47 | 0.16 |

15 | 0.33 | 0.50 | 0.17 |

16 | 0.34 | 0.53 | 0.19 |

17 | 0.34 | 0.57 | 0.23 |

18 | 0.43 | 0.60 | 0.17 |

19 | 0.48 | 0.63 | 0.15 |

20 | 0.49 |0.67 | 0.18 |

21 | 0.55 | 0.70 | 0.15 |

22 | 0.59 | 0.73 | 0.14 |

23 | 0.60 | 0.77 | 0.17 |

24 | 0.68 | 0.80 | 0.12 |

25 | 0.70 | 0.83 | 0.13 |

26 | 0.77 | 0.87 | 0.1 |

27 | 0.81 | 0.90 | 0.09 |

28 | 0.83 | 0.93 | 0.1 |

29 | 0.92 | 0.97 | 0.05 |

30 | 0.97 | 1.00 | 0.03 |

siguiendo con el paso 4

Dn = Max |RNDi – F(RNDi)| = 0.23

Comparamos el valor Dn (calculado) contra el valor en tablas de la distribución Kolmogorov-Smirnov con n = 30 y un nivel de significancia alfa = 5%, el cual es d30.5% = 0.242. como 0.23 es menor que 0.242, entonces, no se puede rechazar la uniformidad de los números aleatorios.

2.2.2 DE ALEATORIEDAD. (CORRIDAS ARRIBA Y DEBAJO DE LA MEDIA Y LONGITUD DE CORRIDAS).

Se dice que es una variable aleatoria cuando las mediciones de los valores se obtienen de algún tipo de experimento aleatorio. Éstos presentan un tratamiento matemático, en el cual se deben cuantificar los resultados de modo que se asigne un número real a cada uno de los resultados posibles del experimento.

Son aquellas que tienen un comportamiento probabilístico de la realidad.

La aleatoriedad es un campo de definición que, en matemáticas, se asocia a todo proceso cuyo resultado no es previsible más que en razón de la intervención del azar. El resultado de todo suceso aleatorio no puede determinarse en ningún caso antes de que este seproduzca. El estudio de los fenómenos aleatorios queda dentro del ámbito de la teoría de la probabilidad y, en un marco más amplio, en el de la estadística.

PRUEBAS DE ALEATORIEDAD DE CORRIDAS ARRIBA y DEBAJO DE LA MEDIA

El método llamado prueba de corridas por arriba cosiste en denotar con un número (0) a aquel número que se encuentre por arriba de la media.

El procedimiento consiste en determinar una secuencia de unos y ceros de acuerdo a la comparación de cada número que cumpla con la condición de ser mayor o igual a 0.5 (en el caso de los ceros) o ser menos a 0.5 (en el caso de los unos).

1. -Se determina el número de corridas y los valores de n1 y n2.

Valores que se emplean:

Co= Número de corridas en la secuencia

n0=Cantidad de ceros en la secuencia S

n1= Cantidad de unos en la secuencia de s

N= Cantidad de números, (n0+n1)

2. Se calcula el valor esperado, la varianza del número de corridas y el estadístico con las siguientes ecuaciones:

Para saber si el estadístico esta fuera del intervalo se empela la siguiente formula:

Si la condición anterior se cumple, entonces se concluye que los números evaluados son independientes, de lo contrario se rechaza al conjunto.

PRUEBAS ESTADISITICAS DE LA ALEATORIEDAD DE LONGITUD DE CORRIDAS

Teoría de las corridas, donde una corrida es una sucesión de letras idénticas(u otra clase desímbolos) precedida o seguida por diferentes letras o por ninguna letra.

Prueba de las corridas: Existen dos versiones de la prueba de las corridas: la prueba de corridas arriba y abajo del promedio y la prueba de corridas arriba y abajo.

Prueba de corridas arriba y abajo del promedio: La prueba de corridas arriba y abajo del promedio es un caso ligeramente modificado de la prueba de la distancia en la cual α=0 y β=0.5. En esta versión de la prueba de las corridas, una secuencia de números pseudoaleatorios U1,…Un es generada. En seguida una secuencia binaria es obtenida, en la cual el ith término es 0 si UI < 0.5 y 1 si UI>0.5. Una vez obtenida la secuencia binaria, el siguiente paso es determinar la cantidad de veces que una misma longitud de corrida se repite (frecuencia observada de la corrida de longitud i). Una sucesión de i ceros (unos), enmarcada por unos (ceros) en los extremos representa una corrida de longitud i. El número total esperado de corridas y el número esperado para cada tamaño de corrida, se obtienen las siguientes expresiones:

E (total de corridas) = N+1/2

FEi = (N-i+3)/2i+1

Estas frecuencias esperadas son comparadas con las observadas a través de una distribución chi-cuadrada y una decisión sobre la aleatoriedad de los números pseudoaleatorios generados es tomada.

Pruebas de corridas de arriba y abajo: En laprueba de corridas arriba y abajo, una secuencia de números pseudoaleatorios U1….Un es generada, y al igual que es el inciso anterior, una secuencia binaria es obtenida, en la cual el ith término es cero si Ui < Ui+1 y 1 si Ui>Ui+1. Una vez obtenida la secuencia binaria, se sigue el mismo procedimiento descrito anteriormente y se obtiene la frecuencia observada para cada tamaño de corrida. El número total esperado de corridas y el número esperado para cada tamaño de corrida, se obtienen con las siguientes expresiones:

E (total de corridas) = 2N-1/3

FEi = 2 [[(i2+3i+1) N – (i3+3i2-i-4)] / (i+3)!] Para I < N-1

FEN-1 = 2/N! Para I = N-1

Finalmente, el estadístico X0 se determina de acuerdo a la siguiente expresión:

Donde n es el número de términos de la ecuación anterior. Es importante señalar que en el cálculo estadístico de la ecuación anterior, la frecuencia esperada para cada tamaño de corrida debe ser mayor o igual a cinco. Si las frecuencias esperadas para corridas de tamaño grande son menores que 5, tales frecuencias se deben de agrupar con las adyacentes de tal modo que la frecuencias esperada de los tamaños de corrida sea de al menos 5.

CONCLUSION

Puesto que en el muestreo Monte Carlo cualquier variable aleatoria no uniforme (normal, exponencial, Poisson, etc.), es obtenida a partir de números aleatorios uniformes (0,1),el principal énfasis en las pruebas estadísticas deberán ser con respecto al generador de los números aleatorios, ya que cualquier deficiencia estadística en la distribución de la variable aleatoria no uniforme, se deberá exclusivamente a la utilización de un deficiente generador de números aleatorios. Por ello se aplican algunas de las muchas pruebas estadísticas que han sido desarrolladas para probar la uniformidad y aleatoriedad o independencia de los mismos, lo cual significa que la ocurrencia de un número aleatorio no determina la ocurrencia del siguiente y así sucesivamente.

BIBLIOGRAFIA

1) http://www.unac.edu.pe/documentos/organizacion/vri/cdcitra/Informes_Finales_Investigacion/Abril_2011/IF_VIVANCO_FIPA/l_Capitulo%208_Pruebas%20estad%EDsticas.pdf

2) http://www.sites.upiicsa.ipn.mx/polilibros/portal/Polilibros/P_terminados/SimSist/doc/SIMULACI-N-131.htm

3) http://www.slideshare.net/iorifoar/numeros-pseudoaleatorios

4) http://books.google.com.mx/books?id=iY6dI3E0FNUC&pg=PA46&lpg=PA46&dq=PRUEBA+DE++LA+LONGITUD+DE+CORRIDAS&source=bl&ots=uIT64f2O6A&sig=K3eORHF5CNCVmZ-S4Ff7TVyvQBM&hl=es-419&sa=X&ei=_So4Uff9LYuC8ATU74DACw&ved=0CCwQ6AEwAA#v=onepage&q=PRUEBA%20DE%20%20LA%20LONGITUD%20DE%20CORRIDAS&f=false

5) LIBRO: Simulación: un Enfoque Práctico Por Raúl Coss Bú

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