Para el cálculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas y Teoremas que a continuación se enumeran.

AXIOMAS Y TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD

Para el cálculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas y Teoremas que a continuación se enumeran.

AXIOMAS

Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades. Fueron formulados por Kolmogórov en 1933.

Axiomas de Kolmogórov:

Primer axioma:

La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre cero y uno.

0 £ p(A) ³ 1

Ejemplo: La probabilidad de sacar par en un dado equilibrado es 0,5. P(A)=0,5

Segundo Axioma:

La probabilidad de que ocurra el espacio muestral d debe de ser 1.

                                                          p(d) = 1

Ejemplo: La probabilidad de sacar un número del 1 al 6 en un dado equilibrado es "1".

Tercer Axioma: 

Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la,

p(AÈB) = p(A) + p(B)

Ejemplo: La probabilidad de sacar en un dado "as" o sacar "número par" es la suma de las probabilidades individuales de dichos sucesos.

Según este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus componentes.

Generalizando:

Si se tienen n eventos mutuamente excluyentes o exclusivos A1, A2, A3,.....An, entonces;

                               p(A1ÈA2È.........ÈAn) = p(A1) + p(A2) + .......+ p(An)

Ejemplo:

Para el experimento aleatorio de tirar un dado, el espacio muestral es W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. En este espacio el conjunto de sucesos es P(W) = {Æ, {1}, {2}, ...{1,2}, {1,3}, ...{1,2,3,4,5,6}}. Para establecer una probabilidad hay que asignar un número a todos esos sucesos.

Sin embargo si se ha asignado a los sucesos elementales p({1})= p({2})= ...= p({6})= 1/6, por la propiedad ii), p.e. la probabilidad del suceso {1, 3} es p({1,3})= p({1})+ p({3})=2/6.

Nota: El suceso {1} es: "el resultado de tirar el dado es la cara 1", el suceso {1, 3} es: "el resultado de tirar el dado es la cara 1, o la 3", el suceso {1, 3, 5} es: "el resultado de tirar el dado es una cara impar".

TEOREMAS

TEOREMA 1. Si f es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra f debe ser cero.

p(f)=0

Ejemplo : La probabilidad de que un estudiante sea mujer es "1 menos la probabilidad de que no sea varón". 

DEMOSTRACIÓN:

Si sumamos a fun evento A cualquiera, como f y A son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces p(AfÈ)=p(A) +p(f)=p(A). LQQD

TEOREMA 2. La probabilidad del complemento de A, Ac debe ser,

p(Ac)= 1 – p(A).

DEMOSTRACIÓN:

Si el espacio muestral d, se divide en dos eventos mutuamente exclusivos, A y Acluego d=AÈAc, por tanto p(d)=p(A) + p(Ac) y como en el axioma dos se afirma que p(d)=1, por tanto, p(Ac)= 1 - p(A) .LQQD

TEOREMA 3. Si un evento A Ì B, entonces la p(A) £ p(B).

DEMOSTRACIÓN:

Si separamos el evento B en dos eventos mutuamente excluyentes, A y B \ A (B menos A), por tanto, B=AÈ(B \ A) y p(B)=p(A) +p(B \ A), luego entonces si p(B \ A)³0 entonces se cumple que p(A)£p(B). LQQD

TEOREMA 4. La p( A \ B )= p(A) – p(AÇB)

DEMOSTRACIÓN: Si A y B son  dos eventos cualquiera, entonces el evento A se puede separar en dos eventos mutuamente excluyentes, (A \ B) y AÇB, por tanto, A=(A \ B)È(AÇB), luego p(A)=p(A \ B) + p(AÇB), entonces, p(A \ B) = p(A) – p(AÇB).  LQQD

TEOREMA 5. Para dos eventos A y B, p(AÈB)=p(A) + p(B) – p(AÇB).

DEMOSTRACIÓN:

Si AÈB = (A \ B) È B, donde (A \ B) y B son eventos mutuamente excluyentes, por lo que p(A È B) = p(A \ B) + p(B) y del teorema anterior tomamos que p(A \ B) = p(A) – p(AÇB), por tanto, p(AÈB) = p(A) + p(B) – p(AÇB).  LQQD

Axiomas de las probabilidades

Una ley de probabilidad , o distribución de probabilidad, es una función [pic 1] que a un evento [pic 2] asocia un número [pic 3], su probabilidad. Este númerotraduce la oportunidad que tiene el evento de producirse. La forma más intuitiva de definir una tal función es  repetir el experimento aleatorio y asociar a cada evento su frecuencia experimental. . Si [pic 4] es el número de experimentos, [pic 5] el número de veces que se produce el evento [pic 6], la frecuencia experimental de [pic 7] es la razón [pic 8]. Aquí tenemos, como ejemplo, [pic 9] repeticiones de un experimento cuyas eventualidades son 0, [pic 10] y [pic 11].

[pic 12]

En este ejemplo la frecuencia experimental de [pic 13] es [pic 14], la de [pic 15] es [pic 16]. El inconveniente es que la frecuencia experimental cambiará si rehacemos los [pic 17] experimentos. En otras palabras el conjunto de las [pic 18] repeticiones constituye un nuevo experimento aleatorio. Sin embargo todos tenemos en nuestra mente una idea de la Ley de los Grandes Números según la cual las frecuencias experimentales varían poco cuando el número de repeticiones es grande. Veamos cuatro cálculos sucesivos de la frecuencia experimental de [pic 19], en [pic 20] repeticiones del mismo experimento anterior.

[pic 21]

Las propiedades que esperamos de una ley de probabilidad son las mismas que las de las frecuencias experimentales. Las consideraremos como los axiomas de la definición.

A1

Para todo evento [pic 22], [pic 23].

A2

La probabilidad del evento cierto es [pic 24]: [pic 25].

A3

Si [pic 26] es una sucesión de eventos disjuntos dos a dos ([pic 27] y [pic 28] no pueden suceder a la vez si [pic 29]), entonces:

[pic 30]

Una consecuencia inmediata de los axiomas A2 y A3 es la relación entre la probabilidad de un evento [pic 31] y la de su opuesto, denotado [pic 32].

[pic 33]

Una ley de probabilidad es creciente por inclusión, según A1 y A3: si [pic 34], entonces [pic 35].

Las leyes de probabilidad que se emplean en la práctica son de dos tipos particulares, las leyes discretas y las leyes continuas. 

1. Leyes discretas 
El conjunto de las eventualidades [pic 36] es finito o numerable:

[pic 37]

Todas las partes de [pic 38] son eventos. Como todo evento es una reunión finita o numerable de eventos individuales o aislados (singleton), es suficiente definir la probabilidad de cada singleton:

[pic 39]

Para todo [pic 40], la probabilidad de [pic 41] será entonces determinada por A3:

[pic 42]

Ejemplo: Si el conjunto de los resultados es finito [pic 43] y si no hay información que nos permita diferenciar unos resultados de otros, es natural asociar a cada eventualidad la probabilidad [pic 44]. La probabilidad de todo evento [pic 45] es entonces Card[pic 46].

Esta probabilidad particular se llama la equiprobabilidad. En este caso todos los cálculos se convierten en contar:

   probabilidad[pic 47]

2. Leyes continuas 

El conjunto de las eventualidades [pic 48] es [pic 49]. Los eventos son los intervalos, y todos los subconjuntos de [pic 50] que se pueden formar combinando intersecciones y uniones de intervalos. En la teoría de la medida se les llama conjuntos borelianos. 

Definición 1.1   Llamamos densidad de probabilidad a una función de [pic 51] en [pic 52], continua por pedazos y de integral igual a [pic 53].

[pic 54]   y[pic 55]

Dada una densidad de probabilidad, se define una ley de probabilidad sobre [pic 56], asociando a todo evento [pic 57] el valor de la integral de la densidad sobre este evento:

...