Problemas

Ejercicios Resueltos de

Probabilidad

Juan Jos´e Salazar Gonz´alez Marta L´opez Yurda

´Indice general

Pr´ologo 9

1. Combinatoria 11

2. Fundamentos de probabilidades 23

3. Distribuciones de probabilidad 85

4. Principales variables aleatorias 109

5. Variables aleatorias bidimensionales 145

6. Convergencia 169

7. Regresi´on y correlaci´on 177

Bibliograf´ıa 183

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Pr´ologo

¿Un d´ıa sale en el peri´odico que un inversor ha logrado preveer el ´exito

o fracaso de ciertas operaciones complejas de bolsa durante las ´ultimas 10

jornadas. ¿Se dejar´ıa asesorar por ´el para que le rentabilizase sus ahorros? Sin

duda, mucha gente responder´ıa afirmativamente.

Consideremos 1000 monos durante diez d´ıas. Cada d´ıa le asociamos, a cada

uno, la respuesta “´exito en la inversi´on” si se levanta con el pie derecho, y

“fracaso en la inversi´on” si se levanta con el pie izquierdo. Entonces, cada d´ıa

aproximadamente la mitad acertar´a, y para el d´ıa siguiente consideramos s´olo

esos. Es decir, el primer d´ıa 500 monos acertar´an la operaci´on justa, de los que

250 tambi´en acertar´an la segunda, y de ellos 125 la tercera, etc. Transcurridos

los diez d´ıas es muy probable que tengamos un mono que haya acertado todas

las operaciones. ¡Este ser´ıa el mono al que esas personas le dar´ıan su dinero!À

Este libro contiene 139 ejercicios resueltos de Probabilidades. No se trata

de una colecci´on exclusiva de problemas dif´ıciles de resolver, desafiantes y s´olo

aptos para alumnos brillantes. Por el contrario, se trata de una lista de ejercicios

de dificultad variada que pretende ayudar a cualquier alumno que se inicie en

el C´alculo de Probabilidades. En ella hay ejercicios cl´asicos, algunos tomados de

libros mencionados en la bibliograf´ıa, con distinto grado de dificultad, tratando

de configurar una gama de problemas apropiados para un primer curso de

Probabilidades.

Cada cap´ıtulo inicia con un resumen te´orico que pretende establecer la

notaci´on b´asica que luego se usa en la resoluci´on de sus ejercicios. Dado que

no ha sido objetivo el extendernos en la parte te´orica, algunos conceptos se

presentan de forma simplificada (como los referentes a la Ley Fuerte de los

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10 EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD

Grandes N´umeros o al de regresi´on). Por ello, recomendamos que este material

sirva s´olo para controlar que sus ejercicios han sido correctamente resueltos por

el lector, quien previamente ha debido trabajarlos por su cuenta, pero nunca

como libro de texto en s´ı mismo, y a´un menos como libro de teor´ıa.

El primer cap´ıtulo se dedica a la Combinatoria y el segundo la utiliza para

el c´alculo elemental de probabilidades, incluyendo la probabilidad condicionada.

El tercer cap´ıtulo introduce los conceptos de variable aleatoria, funci´on

de distribuci´on y esperanza matem´atica, entre otros. Los ejercicios del cuarto

cap´ıtulo tratan sobre variables aleatorias tradicionales, tanto discretas como

continuas. Las variables aleatorias bidimensionales se afrontan en el cap´ıtulo

quinto. El cap´ıtulo sexto presenta ejercicios de convergencia, y el s´eptimo

ejercicios sencillos de regresi´on y correlaci´on.

Esta colecci´on se ha desarrollado impartiendo durante varios cursos la asignatura

Probabilidades I, en la Facultad de Matem´aticas de la Universidad de

La Laguna. Por ello, la resoluci´on de varios problemas subraya conceptos abstractos

como el de espacio muestral, etc. Creemos que este rigor matem´atico

(nunca excesivo) es aconsejable tambi´en para alumnos de facultades de Ingenier

´ıas, Econ´omicas, Biolog´ıa, etc., y en este sentido deseamos que el estilo de

resoluci´on en este libro le puedan tambi´en ser de ayuda.

Aunque los errores que aparecen son responsabilidad exclusiva de los autores,

han sido varias las personas que han realizado aportaciones a este libro. De

forma especial queremos destacar las valiosas sugerencias que hemos recibido

de Jos´e Juan C´aceres Hern´andez (Departamento de Econom´ıa de las Instituciones,

Estad´ıstica Econ´omica y Econometr´ıa, ULL) y de Carlos Gonz´alez Alc´on

(Departamento de Estad´ıstica, Investigaci´on Operativa y Computaci´on, ULL).

Tambi´en agradecemos al Gobierno de Canarias que, a trav´es del proyecto de

investigaci´on PI2000/116, ha financiado parcialmente el trabajo realizado.

Juan Jose Salazar Gonzalez y Marta Lopez Yurda.

Tenerife, a 14 de agosto de 2001.

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CAP´ITULO 1

Combinatoria

La Combinatoria es el arte de contar los posibles elementos de un conjunto,

teniendo especial cuidado en no olvidar ning´un elemento ni en contarlo m´as de

una vez. A continuaci´on resaltamos seis casos t´ıpicos:

Permutaciones de n elementos: Dados n elementos distintos, el n´umero de

secuencias ordenadas de ´estos es

Pn = n ¢ (n ¡ 1) ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 2 ¢ 1:

Este n´umero tambi´en se denota como n!.

Permutaciones con repetici´on de n elementos, con ni repeticiones del i-

´esimo elemento, i = 1; : : : ; k: Dados n elementos, de los cuales hay s´olo k

diferentes (n1 iguales, n2 iguales,: : :,nk iguales, con n1+n2+: : :+nk = n),

el n´umero de secuencias ordenadas de estos elementos es

PRn1;:::;nk

n = n!

n1! ¢ : : : ¢ nk! :

Variaciones de n elementos tomados de m en m (con m · n): Dados n

elementos distintos, el n´umero de selecciones ordenadas de m de ellos es

Vn;m = n!

(n ¡ m)! :

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12 EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD

Variaciones con repetici´on de n elementos tomados de m en m: Dados n

elementos distintos, el n´umero de selecciones ordenadas de m de ellos,

pudiendo ocurrir que un mismo elemento aparezca m´as de una vez en la

selecci´on, es

V Rn;m = nm:

Combinaciones de n elementos tomados de m en m (con m · n): Dados n

elementos distintos, el n´umero de maneras de seleccionar m de ellos (sin

tener presente el orden) viene dado por

Cn;m = n!

m! ¢ (n ¡ m)! :

Este n´umero tambi´en se denota como

¡n

m

¢

.

Combinaciones con repetici´on de n elementos tomados de m en m: Dados

n elementos distintos, el n´umero de selecciones de m de ellos, sin tener

presente el orden y pudiendo haber elementos repetidos en una selecci´on,

es

CRn;m =

µ

n + m ¡ 1

m

¶

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Ejercicios Resueltos

P1.1] ¿De cu´antas maneras pueden sentarse 10 personas en un banco si hay 4

sitios disponibles?

Soluci´on

N´otese que importa el orden en que se sienten las personas, ya que los

cuatro sitios son diferentes, y que una persona no puede ocupar m´as de

un sitio a la vez. Por lo tanto, hay V10;4 = 10!=6! = 10 ¢ 9 ¢ 8 ¢ 7 = 5040

maneras.

P1.2] En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 3 premios. Averiguar de

cu´antos modos puede hacerse si:

1. los premios son diferentes;

2. los premios son iguales.

Soluci´on

Hay dos supuestos posibles:

si una misma persona no puede recibir m´as de un premio:

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CAP´ITULO 1. COMBINATORIA 13

1. hay V10;3 = 10 ¢ 9 ¢ 8 = 720 maneras de distribuir los premios si

´estos son diferentes;

2. en el caso de que los premios sean iguales, pueden distribuirse

de C10;3 = 10 ¢ 9 ¢ 8=6 = 120 maneras.

si una misma persona puede recibir m´as de un premio:

1. se pueden distribuir los premios, si ´estos son diferentes, de V R10;3

=103 = 1000 maneras;

2. hay CR10;3 = 220 maneras de distribuir los premios si ´estos son

iguales.

P1.3] Las diagonales de un pol´ıgono se obtienen uniendo pares de v´ertices no

adyacentes.

1. Obtener el n´umero de diagonales del cuadrado, el hex´agono y el

oct´ogono. Calcularlo para el caso general de un pol´ıgono de n lados.

2. ¿Existe alg´un pol´ıgono en el que el n´umero de lados sea igual al de

diagonales?

Soluci´on

1. Comenzamos calculando el n´umero de diagonales del cuadrado. Hay

C4;2 = 6 uniones posibles de dos v´ertices diferentes cualesquiera,

adyacentes o no. Si de estas 6 parejas eliminamos las que corresponden

...