Programación Lineal, Variables de decisión, Función Objetivo, Restricciones, Método Grafico

Programación Lineal, Variables de decisión, Función Objetivo, Restricciones, Método Grafico.

1.- Una ciudad desea determinar cuántas subestaciones postales se requieren para dar servicio a su población. La ciudad ha sido dividida en ocho zonas postales. Se han identificado cinco ubicaciones posibles para las subestaciones. Cada ubicación puede dar servicio a un número diferente de zonas, como se indica en la siguiente tabla:

Ubicación        Zonas que se pueden Atender

1        1, 2, 3

2        1, 4, 5

3        2, 4, 5, 8

4        3, 5, 6, 7

5        6, 7, 8

Formule un modelo para determinar el número mínimo de subestaciones (y sus ubicaciones) necesarias para dar servicio a las ocho zonas postales. (Sugerencia: defina una variable apropiada para cada ubicación)

Solución:

Variables.

X11 Sub estación 1 para atender la estación en zona 1.

X12 Sub estación 1 para atender la estación en zona 2.

X13 Sub estación 1 para atender la estación en zona 3.

X21 Sub estación 2 para atender la estación en zona 1.

X24 Sub estación 2 para atender la estación en zona 4.

X25 Sub estación 2 para atender la estación en zona 5.

X32 Sub estación 3 para atender la estación en zona 2.

X34 Sub estación 3 para atender la estación en zona 4.

X35 Sub estación 3 para atender la estación en zona 5.

X38 Sub estación 3 para atender la estación en zona 8.

X43 Sub estación 4 para atender la estación en zona 3.

X45 Sub estación 4 para atender la estación en zona 5.

X46 Sub estación 4 para atender la estación en zona 6.

X47 Sub estación 4 para atender la estación en zona 7.

X56 Sub estación 5 para atender la estación en zona 6.

X57 Sub estación 5 para atender la estación en zona 7.

X58 Sub estación 5 para atender la estación en zona 8.

F.O

Min Z= X11 + X12 + X13 + X21 + X24 + X25 +X32 + X34 +X35 +X38 + X43 + X45 +X46

+X47 + X56 + X57 +X58.

S.a

X11+ X21 = 1

X12+ X32 = 1

X13+ X43 = 1

X24+ X34 = 1

X25+ X35+ X45 = 1

X46+ X56 = 1

X47+ X57 = 1

X38+ X58 = 1

X11 + X12 + X13≤ 3

X21 + X24 + X25≤ 3

X32 + X34 +X35 +X38≤ 4

X43 + X45 +X46 +X47≤ 4 X56 + X57 +X58≤ 3

X11+ X21 = 1

X12+ X32 = 1

X13+ X43 = 1

X24+ X34 = 1

X25+ X35+ X45 = 1

X46+ X56 = 1

X47+ X57 = 1

X38+ X58 = 1

2.- Una compañía ha sometido 9 proyectos a consideración. El VNA sumado por cada proyecto y el capital requerido por cada proyecto y el capital requerido por cada proyecto durante los dos próximos años, se presenta en la tabla. Todos los valores están en millones. Por ejemplo, el proyecto 1 sumará 14 millones de dólares en VNA y requiere gastos por 12 millones durante el año 1, y 3 millones durante el año 2. Se dispone de 50 millones de dólares para los proyectos durante el año 1 y 20 millones están disponibles durante el año 2. Si se supone que se va iniciar una fracción de cada proyecto, ¿Cómo se puede maximizar el VNA?

        Proyecto.

        1        2        3        4        5        6        7        8        9

Salida de efectivo en el año 1        12        54        6        6        30        6        48        36        18

Salida de efectivo en el año 2        3        7        6        2        35        6        4        3        3

VNA        14        17        17        15        40        12        14        10        12

Max Z= 14 (11+X21) + 17 (X12+X22) + 17(X13+X23) +…+ 12(X19+ X29)

Inversión en Millones en Salida de efectivo en el año 1

12X11 + 54X12 + 6X13 + 6X14 + 30X16 + 48X17 + 36X18 + 18X19 ≤ 50

Inversión en Millones en Salida de efectivo en el año 2

3X21 + 7X22 + 6X23 + 2X24 + 35X25 + 6X26 + 4X27 + 3X28+ 12X29        ≤ 20

3.- General Ford tiene 2 plantas, dos almacenes y 3 clientes. Sus ubicaciones son las siguientes:

Plantas: Detroit y Atlanta Almacenes: Denver y Nueva York

Clientes: Los Ángeles, Chicago y Filadelfia

Los automóviles se producen en las plantas, luego se envían a los almacenes y, por último, a los clientes. Detroit puede producir 150 automóviles por semana y Atlanta produce 100 automóviles por semana. Los Ángeles requieren 80 automóviles por semana; Chicago, 70, y Filadelfia, 60. Cuesta $10,000 dólares producir un automóvil en cada planta, y el costo de enviar un automóvil entre dos ciudades se da en la tabla. Determine cómo satisfacer las demandas semanales de General Ford a costo mínimo.

        A ($)                A ($)

        Denver        Nueva York                De        L. A.        Chicago        Filadelfia

Detroit        1253        637                Denver        1059        996        1691

Atlanta        1398        841                New York        2786        802        100

Solución:

Variables.

X1 Unidades enviadas de Detroit a Denver X2 Unidades enviadas de Detroit a NY.

X3 Unidades enviadas de Atlanta a Denver X4 Unidades enviadas de Atlanta a Denver X5 Unidades enviadas de Denver a L.A.

X6 Unidades Enviadas de Denver a Chicago X7 Unidades enviadas de Denver a Chicago X8 Unidades enviadas de N.Y. a L.A.

X9 Unidades enviadas de N.Y. a Chicago X10 Unidades enviadas de N.Y. a Filadelfia

F.O

Min Z = 1253X1 + 10637X2 + 11398X4+ 11059X5 + 10996X6 + 11691X7 + 12786X8 + 10802X9 + 10100X10

S.a

X5 + X8≥ 80                       X6 + X9≥ 70

X7 + X10 ≥ 60                  X1 + X2 ≤ 150

X3 + X4 ≤ 100                 X1 + X2 ≥ 0                 X3 + X4 ≥ 0

4.- Un destacamento militar formado por 50 soldados ingenieros, 36 zapadores, 22 de las fuerzas especiales, y 120 soldados de infantería como tropa de apoyo, ha de transportarse hasta una posición estratégica importante. En el parque de la base se dispone de 4 tipos de vehículos A, B, C, y D, acondicionados para transporte de tropas. El número de personas que cada vehículo puede transportar es 10, 7, 6, y 9, de la forma en que se detalla en la siguiente tabla:

        Ingenieros        Zapateros        Fuerzas especiales        Infantería

A        3        2        1        4

B        1        1        2        3

C        2        1        2        1

D        3        2        3        1

El combustible necesario para que cada vehículo llegue hasta el punto de destino se estima en 160, 80, 40, y 120 litros respectivamente. Si queremos ahorrar combustible, ¿cuántos vehículos de cada tipo habrá que utilizar para que el consumo sea el mínimo posible?

Solución:

F.O MIN Z

Z= 160 X1 + 80 X2 + 40 X3 + 120 X4

S.a

INGENIEROS        3 X1 + X2 + 2 X3 + 3 X4        ≥ 50

ZAPATEROS        2 X1 + X2 + X3 + 2 X4        ≥ 36

F. ESPECIALES        X1 + 2 X2 + 2 X3 + 3 X4        ≥ 22

INFANTERIA        4 X1 + 3 X2 + X3 + X4

Xi        ≥ 120

≥ 0

Minimizar.

160 X1 + 80 X2 + 40 X3 + 120 X4

3 X1 + 1 X2 + 2 X3 + 3 X4 ≥ 50

2 X1 + 1 X2 + 1 X3 + 2 X4 ≥ 36

1 X1 + 2 X2 + 2 X3 + 3 X4 ≥ 22

4 X1 + 3 X2 + 1 X3 + 1 X4 ≥ 120 X1, X2, X3, X4 ≥ 0

Paso a forma estándar.

Maximizar.

 -160 X1 -80 X2 -40 X3 -120 X4 + 0 X5 + 0 X6 + 0 X7 + 0 X8 + 0 X9 + 0 X10 + 0 X11 + 0 X12

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