Programacion lineal

Unidad 4. Programación lineal 1

Página 99

REFLEXIONA Y RESUELVE

Resolución de inecuaciones lineales

■ Para representar y – x Ì 2, representa la recta y – x = 2. Después, para decidir

a cuál de los dos semiplanos corresponde la inecuación, toma un punto cualquiera

exterior a la recta y comprueba si sus coordenadas verifican o no la desigualdad.

■ Representa, de forma análoga, las siguientes inecuaciones:

a) x + 5y > 10 b) x + 2y Ì 16 c) 2x + y Ì 20

1

1

x + 5y > 10

1

a)

b)

c)

1

2x + y Ì 20

2

2

x + 2y Ì 16

y – x Ì 2

1

1

4 PROGRAMACIÓN LINEAL

Resolución de sistemas de inecuaciones

■ Representa el recinto formado por las siguientes condiciones:

Inecuaciones en el mercado de frutas

Un comerciante acude al mercado a comprar naranjas. Dispone de 2 000 € y en

su furgoneta caben 1 400 kg.

En el mercado disponen de naranjas de tipo A a 1,10 € y de tipo B a 1,60 €. Él las

podrá vender a 1,20 € las de tipo A y a 1,75 € las de tipo B, y se cuestiona cuántos

kilogramos de cada tipo debería comprar para conseguir que los beneficios

sean lo más altos posible.

a) Si se gasta todo el dinero en naranjas de tipo B, ¿cuántos kilos le caben aún en

su furgoneta?

b) Si llena la furgoneta con naranjas de tipo A, ¿cuánto dinero le sobra? ¿Cuál

será el beneficio?

c) ¿Cuál será el beneficio si compra 400 kg de naranjas de tipo A y 300 kg de

tipo B?

a) Puede comprar 2 000 : 1,60 = 1 250 kg de naranjas de tipo B.

En la furgoneta le caben aún 1 400 – 1 250 = 150 kg.

b) Se gasta 1 400 · 1,10 = 1 540 €.

Le sobran 2 000 – 1 540 = 460 €.

Beneficio = 1 400 · (1,20 – 1,10) = 140 €

c) Beneficio = 400 · (1,20 – 1,10) + 300 · (1,75 – 1,60) = 85 €

2x + y = 20

x + 2y = 16

x + 5y = 10

y – x = 2

1

1

y – x Ì 2

x + 5y Ó 10

x + 2y Ì 16

2x + y Ì 20

°§¢§£

2 Unidad 4. Programación lineal

Página 108

1. Representa la región definida por el siguiente sistema de inecuaciones:

x Ó 0, y Ó 3, x + y Ì 10, 2y Ó 3x

Averigua en qué puntos se hace máxima y mínima la función F(x, y) = 4x + 3y.

Representamos las rectas y vemos en qué puntos se cortan:

F(A) = F(0, 3) = 9 F(B) = F(0, 10) = 30

F(C) = F(4, 6) = 34 F(D) = F(2, 3) = 17

F(x, y) = 4x + 3y se hace mínima en A(0, 3) y

máxima en C(4, 6).

2. Representa el recinto definido por estas inecuaciones:

x Ó 0, y Ó 0, x Ì 10, x Ì y, y – 2x Ì 6, 3x + 4y Ó 35

¿En qué punto la función F(x, y) = 10x + 15y alcanza el valor máximo?

Representamos las rectas y vemos en qué puntos se cortan:

F(A) = F(1, 8) = 130 F(B) = F(5, 5) = 125

F(C) = F(10, 10) = 250 F(D) = F(10, 26) = 490

Representamos después la dirección de las rectas

que son de la forma 10x + 15y = K.

F(x, y) = 10x + 15y alcanza el valor máximo en el

punto D(10, 26).

x = 10

y – 2x = 6

x = y

3x + 4y = 35

10x + 15y = 0

D

C

B

A

1 1

D(10, 26)

° ¢ £

x = 10

y – 2x = 6

C(10, 10)

° ¢ £

x = y

x = 10

B(5, 5)

° ¢ £

3x + 4y = 35

x = y

A(1, 8)

° ¢ £

y – 2x = 6

3x + 4y = 35

1 10

1

y = 3

x + y = 10

4x + 3y = 0

A

B

C

D

2y = 3x

D(2, 3)

° ¢ £

2y = 3x

y = 3

C(4, 6)

° ¢ £

x + y = 10

2y = 3x

B(0, 10)

° ¢ £

x = 0

x + y = 10

A(0, 3)

° ¢ £

x = 0

y = 3

Unidad 4. Programación lineal 3

UNIDAD 4

3. En una confitería se elaboran tartas de NATA y de MANZANA. Cada tarta de nata

requiere medio kilo de azúcar y 8 huevos; y una de manzana, 1 kg de azúcar y

6 huevos. En la despensa quedan 10 kg de azúcar y 120 huevos.

¿Cuántas tartas de cada tipo se deben hacer si pretendemos que los ingresos

por su venta sean máximos?

Considera estos casos:

a) Sus precios son: nata, 12 €; manzana, 15 €.

b) Sus precios son: nata, 16 €; manzana, 12 €.

c) Sus precios son: nata, 15 €; manzana, 10 €.

Anotamos los datos en una tabla:

Restricciones del problema:

Dibujamos las rectas y hallamos

los puntos de intersección:

a) Función objetivo: F1(x, y) = 12x + 15y. Dibujamos la dirección de 12x + 15y = K

trazando 12x + 15y = 300. F1(x, y) alcanza el máximo en el punto A(0, 20). Es

decir, hay que hacer 20 tartas de manzana y ninguna de nata.

b) Función objetivo: F2(x, y) = 16x + 12y. Dibujamos la dirección de 16x + 12y = K.

El máximo para F2(x, y) se consigue en cualquier punto, de coordenadas enteras,

del lado que pasa por los puntos A(0, 20) y B(12, 4). Además de estas dos, las

soluciones son (3, 16), (6, 12) y (9, 8) (la primera coordenada indica las tartas de

nata que habría que hacer y la segunda, las tartas de manzana).

c) Función objetivo: F3(x, y) = 15x + 10y. Dibujamos la dirección de 15x + 10y = K

trazando la recta 15x + 10y = 220. El máximo de F3(x, y) está en B(12, 4): 12

tartas de nata y 4 de manzana.

1 15

1

a) 12x + 15y = 300

C

B

A

b) 16x + 12y = K

c) 15x + 10y = 220

8x + 6y = 120

(1/2)x + y = 10

C(0, 10)

° ¢ £

(1/2)x + y = 10

x = 0

B(12, 4)

° ¢ £

8x + 6y = 120

(1/2)x + y = 10

A(0, 20)

° ¢ £

x = 0

8x + 6y = 120

x Ó 0

y Ó 0

8x + 6y Ì 120

(1/2)x + y Ì 10

°§¢§£

CANTIDAD (kg)

NATA x

MANZANA y

HUEVOS

8x

6y

AZÚCAR

(1/2)x

1y

4 Unidad 4. Programación lineal

Página 114

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

s1 Maximiza la función F(x, y) = 25x + 20y sometida a las siguientes restricciones:

x + y Ì 120; 3y Ì x; x Ì 100; y Ó 10.

Dibujamos las rectas y hallamos los puntos de corte:

F(A) = F(30, 10) = 950 F(B) = F(100, 10) = 2 700

F(C) = F(100, 20) = 2 900 F(D) = F(90, 30) = 2 850

El máximo se alcanza en C(100, 20) y vale 2 900.

s2 a) Maximiza y minimiza la función F(x, y) = 2x + 3y con las siguientes restricciones:

x + y Ì 5; x + 3y Ó 9; x Ó 0, y Ó 0.

b) Haz lo mismo con la función G(x, y) = y – x.

Representamos las rectas y la región que cumple las condiciones del problema:

a) Dibujamos 2x + 3y = 0 para ver la dirección de las rectas 2x + 3y = K.

F(A) = F(0, 5) = 15; F(B) = F(3, 2) = 12; F(C) = F(0, 3) = 9.

El máximo de F(x, y) se alcanza en A(0, 5), y el mínimo, en C(0, 3).

b) Dibujamos y – x = 0 para ver la dirección de las rectas y – x = K.

G(A) = G(0, 5) = 5; G(B) = G(3, 2) = –1; G(C) = G(0, 3) = 3.

El máximo de G(x, y) se alcanza en A(0, 5) y el mínimo, en B(3, 2).

2x + 3y = 0

C

B

A

y – x = 0

x + 3y = 9

y = 5 – x

1 1

C(0, 3)

° ¢ £

x + 3y = 9

x = 0

B(3, 2)

° ¢ £

y = 5 – x

x + 3y = 9

A(0, 5)

° ¢ £

x = 0

y = 5 – x

10 100 120

10

25x + 20y = 0

A

B

C

D 3y = x

x + y = 120

y = 10

x = 100

D(90, 30)

° ¢ £

x + y = 120

3y = x

C(100, 20)

° ¢ £

x = 100

x + y = 120

B(100, 10)

° ¢ £

y = 10

x = 100

A(30, 10)

° ¢ £

3y = x

y = 10

PARA PRACTICAR

Unidad 4. Programación lineal 5

UNIDAD 4

s3 Maximiza la función z = x + y + 1 sujeta a las siguientes restricciones:

Representamos las rectas y la dirección de x + y + 1 = K. Obtenemos la región

que cumple las condiciones del problema:

z = F(x, y) = x + y + 1

F(A) = F(10, 26) = 37; F(B) = F(10, 10) = 21

F(C) = F ( , ) = ; F(D) = F(0, 6) = 7

El máximo se alcanza en el punto A(10, 26) y vale 37.

s4 En la región determinada por x + y Ó 5, x + 3y Ó 9, 4x + y Ó 8, x Ó 0 e

y Ó 0, halla el punto en el que la función F(x, y) = 2x + 3y alcanza su valor

mínimo. ¿Puede alcanzar su máximo en esa región?

Representamos las rectas, la dirección de 2x + 3y = K y la región que cumple las

condiciones del problema, teniendo en cuenta que x Ó 0 e y Ó 0.

El mínimo de F(x, y) se encuenta en uno de

los vértices de la región factible:

F(A) = F(0, 8) = 24 F(B) = F(1, 4) = 14

F(C) = F(3, 2) = 12 F(D) = F(9, 0) = 18

El mínimo se alcanza en el punto C(3, 2) y vale 12.

No tiene máximo, pues hay puntos en la región en

...