Resumen Matematicas

Una expresión que contiene un solo término se denomina monomio; si contiene dos términos se llama binomio y si contiene tres términos, es un trinomio.

Un polinomio es una suma (o diferencia) finita de términos.

En este contexto, el grado es el mayor exponente de las variables en un polinomio. Por ejemplo, si el mayor exponente de la variable es 3, como en ax3 + bx2 + cx, el polinomio es de tercer grado.

Una ecuación lineal en una variable es una ecuación polinómica de primer grado; es decir, una ecuación de la forma ax + b = 0.

Se les llama ecuaciones lineales porque representan la fórmula de una línea recta en la geometría analítica.

Una ecuación cuadrática en una variable es una ecuación polinómica de segundo grado, es decir, de la forma ax2 + bx + c = 0.

Un número primo es un entero (número natural) que sólo se puede dividir exactamente por sí mismo y por 1. Así, 2, 3, 5, 7, 11 y 13 son todos números primos.

Las potencias de un número se obtienen mediante sucesivas multiplicaciones del número por sí mismo. El término a elevado a la tercera potencia, por ejemplo, se puede expresar como a•a•a o a3

Por ejemplo, 2x3 + 8x2y se puede factorizar, o reescribir, como

2x2(x + 4y).

Algunos ejemplos:

De la expresión ab2 + 3cb  b3 podemos factorizar b

y obtenemos la expresión: b(ab + 3c  b2) (1)

Veamos paso a paso cómo se obtuvo la expresión:

ahora podríamos reacomodar la expresión que queda dentro del paréntesis:

Finalmente si sustituimos este último resultado en (1), obtenemos:

ab2 + 3cb  b3 = b (b (a  b) + 3c)

ab2 + 3cb  b3 = b (ab  b2 + 3c)

ab2 + 3cb  b3 = b (ab +3c –b2)

9x + 6y  12z = 3(3x + 2y  4z)

Ejemplo: Factor izar 9xy2 + 6y4  12 y3z

3y2(3x + 2y2  4yz)

La suma de tres números impares consecutivos es siempre

I) divisible por 3.

II) divisible por 6.

III) divisible por 9.

Alternativas

Es (son) verdadera(s)

A) sólo I.

B) sólo II.

C) sólo I y III.

D) sólo II y III.

E) I, II y III.

Es así como, del enunciado se debe escribir las expresiones que representen a tres números impares consecutivos. Sabiendo que 2n será siempre un número par, si se designa por 2n + 1 el primer número, se tiene que el segundo es 2n + 3 y el tercer número impar es2n + 5, luego la suma de estas expresiones se representa por, 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5, realizando reducción de términos semejantes se llega a 6n + 9, por último se factoriza por 3 obteniéndose 3(2n + 3).

Para que la expresión

sea positiva, se debe cumplir necesariamente que

A) xy < 0

B) x < 0

C) xy > 0

D) y < 0

E) x > y

Área temática: Álgebra

Comentario

En este ítem el alumno debe trabajar con fracciones algebraicas, para ello debe sumar fracciones, factorizar y simplificar el numerador con el denominador de la fracción resultante. Después debe hacer un análisis de la expresión resultante para determinar las condiciones necesarias para que la fracción sea positiva.

Es decir,

Para que una fracción sea positiva el numerador y el denominador deben serlo, o bien ambos deben ser negativos, luego (fracción negativa) será positiva cuando se cumplen las desigualdades (─y > 0 y x > 0) o (─y < 0 y x < 0). Entonces, del primer paréntesis, si ─y > 0 y x > 0, se tiene que y < 0 y x > 0, por lo que xy < 0. Ahora, del segundo paréntesis, si ─y < 0 y x < 0, se tiene quey > 0 y x < 0, por lo tanto xy < 0. Como en ambos casos se llega a que xy < 0, la clave es la opción A).

Este ítem resultó muy difícil. Muy pocos alumnos contestaron correctamente, lo cual hace pensar que la gran mayoría no domina a cabalidad el contenido o no están acostumbrados a trabajar con este tipo de preguntas en donde la respuesta no es una expresión sino una condición. Además, requiere que el estudiante haya desarrollado las habilidades de orden superior, como el análisis de situaciones.

El distractor con más preferencias fue C). Quienes se inclinaron por él, posiblemente operaron mal la fracción algebraica , entonces asumen que esta fracción es mayor que cero cuando xy > 0.

Si a ≠ 2, entonces

(a+2)(a-2)

la expresión del denominador corresponde a un cuadrado del binomio.

a^2-2a2+2^2

a^2 4a+4

a continuación factorizar el numerador por (x + 1)

. Por último, simplificando por (a – 2) queda que corresponde a la opción E.

Este ítem resultó difícil y con una alta omisión, sobre el 50 por ciento, lo cual demuestra que los alumnos no están familiarizados con la resolución de problemas donde deban efectuar una doble factorización o sacar un factor común que no es un monomio sino un binomio.

La expresión a4– b4 se puede escribir como

Alternativas

A) (a – b)4

B) (a + b)2 (a – b)2

C) (a3 – b3) (a + b)

D) (a2 + b2) (a2 – b2)

E) (a - b) (a3 + b3)

a2 – b2 = (a + b) (a – b).

(a^2)-b^2

Así, a4 – b4 = (a2)2 – (b2)2 = (a2 + b2) (a2 – b2), que corresponde a la opción D).

Este ítem tuvo una muy baja omisión, porque los productos notables son muy utilizados, por lo que les son familiares, sin embargo, lo contestó bien solamente un tercio de la población que lo abordó.

El distractor A) fue elegido por el 46,2 por ciento de los alumnos y que corresponde al grupo que obtuvo el promedio de puntaje corregido más bajo en la prueba.

Esta respuesta muestra uno de los errores que más comete el alumnado, al decir, sin mayor razonamiento que a4 – b4 = (a – b)4.

Ecuaciones de primer grado o lineales

Resolver la ecuación 2x – 3 = 53

2x =53+3

2x=56

X= 56/2

Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).

Entonces hacemos:

2x – 3 + 3 = 53 + 3

En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos:

2x = 53 + 3

2x = 56

Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:

2x • ½ = 56 • ½

Simplificamos y tendremos ahora:

x = 56 / 2

x = 28

Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.

Se corta una tabla de 3 metros de largo en dos partes, de modo que una de ellas es 50 cm más larga que la otra. ¿Cuáles son las longitudes de cada parte?

A) 250 cm y 50 cm

B) 150 cm y 150 cm

C) 175 cm y 125 cm

D) 200 cm y 100 cm

E) Ninguna de las medidas anteriores.

Del enunciado se tiene que la tabla que mide 3 metros, que equivalen a 300 cm, se divide en dos partes, si la parte más corta es x, la otra es 300 – x.

Además, se sabe que una de ellas es 50 cm más larga que la otra, entonces se puede concluir que x + 50 = 300 – x, se suma el inverso aditivo de -x y el inverso

aditivo de 50, a ambos lados de la igualdad, obteniéndose 2x = 250, multiplicando por

el recíproco de 2 a ambos lados de la igualdad, se llega a

Así, las medidas de cada parte de la tabla son 125 cm y 175 cm, valores que se encuentran en la opción C) .

Si un número se divide por 0,3 resulta 60, ¿cuál es el número?

A) 0,18

B) 1,8

C) 18

D) 20

E) 200

x : 0,3 = 60, o en forma fraccionaria, , de donde se deduce que

x = 60 • 0,3 = 18, que corresponde a la opción C.

84 733: 20=42

047

073

Los ángulos interiores de un triángulo son tales que α : β = 2 : 3 y β : γ = 3 : 4, entonces

A) 15º

B) 20º

C) 45º

D) 60º

E) Ninguna de las anteriores

Eje temático: Álgebra y funciones

Comentario:

Se sabe que α + β + γ = 180º (suma de los ángulos interiores de un triángulo)

α : β = 2 : 3 (enunciado)

β : γ = 3 : 4 (enunciado)

De donde

Reemplazando (2) y (3) en (1) se tiene:

El cálculo de β corresponde

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