Resumen para el primer examen

[pic 1]

Métodos de Factorización

1. Factor común

Condiciones que se deben de cumplir para ser factor común:

• Tener por lo menos un factor común repetido en todos los monomios

Proceso

7ab + 2ac = El único factor común sería la a

a (7b+2c)= Se coloca la a fuera de los paréntesis, poniendo lo restante entre paréntesis

Notas

• Si cuando se pone el factor común un término se le saco todo, se pone un 1
• Para sacar la factorización completa de los números se hace M.C.D.
• Los paréntesis  pueden ser factor común, si no están iguales de signo, simplemente se hace cambio de signos
• Se puede sacar un negativo como factor común
• Cuando son fracciones se saca factor común del  denominador y numerador, por separado
• Si el exponente es una fracción, se saca el menor y se le resta a los restantes

1. Agrupación

Condiciones que se deben de cumplir para ser agrupación:

• Debe de ser mayor a dos términos
• Debe de tener cantidad par de términos

Proceso

a2 + ab+ ax+ bx = se agrupan los datos, de tal manera que se pueda sacar la mayor cantidad de factores

(a2+ ab) + (ax+bx) = se agrupan en paréntesis, separados por un +

a (a+b ) + x (a+b) = se saca el factor común de los paréntesis, estos deben quedar igual

(a+x) (a+b)= se pone en un paréntesis los factores comunes, y en el otro los paréntesis del paso anterior.

Notas

• Si no hay factor común en un paréntesis, se considera que hay un 1
• Si los paréntesis quedan con los signos contrarios, se saca un - , eso da el derecho de cambiar los signos

1. Diferencia de cuadrados

A2 – B2 = (A+B) (A-B)

Condiciones que se deben de cumplir para ser diferencia de cuadrados:

• Que sea una diferencia
• Que tengan raíces cuadradas enteras

Proceso

1 – a2 = Sacarles raíces  cuadradas a los dos términos

(1+a) (1-a) = Colocarlos en dos paréntesis, uno con + y el otro con –

Notas

• Muchas veces sucede que hay que hacer dos diferencias o incluso un factor común, porque el resultado se puede factorizar más.
• La raíz de 1, siempre va a ser 1
• NO EXISTE SUMA DE CUADRADOS

1. Diferencia de cubos

A3 - B3 = (A-B) (A2+AB+B2)

Condiciones que se deben de cumplir para ser diferencia de cubos:

• Que sea una diferencia
• Que tengan raíces cubicas enteras

Proceso

8y6- 27 = Sacarles raíces cubicas a los términos

(2y2-3) [(2y2) 2+ (2y2)  (3) + (3)2]=  Colocarlos en paréntesis

(2y2-3) (4y4+ 6y2+9) = se soluciona todo

Notas

• El segundo paréntesis nunca se puede factorizar
• Muchas veces hay que aplicar formulas notables:

• (a-b)2= a2-2ab+b 2
• (a+b)2= a2 + 2ab +b 2
• (a+b) (a-b) = a2 – b2

• Para sacar una raíz de un número con exponente, se dividen
• Si un número tiene dos exponentes, se multiplican

1. Suma de Cubos

A3 + B3 = (A+B) (A2-AB+B2)

Condiciones que se deben de cumplir para ser suma de cuadrados:

• Que sea una suma
• Que tengan raíces cubicas enteras

Proceso

1+ x3 =sacarles raíces cubicas a los términos

[1+ x]  [12- (1) (x) + x2]= Colocarlos en paréntesis

(1+x) (1 - x + x2 ) = Solucionarlo todo

Notas

• El segundo paréntesis nunca se puede factorizar
• Muchas veces hay que aplicar formulas notables:

• (a-b)2= a2-2ab+b 2
• (a+b)2= a2 + 2ab +b 2
• (a+b) (a-b) = a2 – b2

• Para sacar una raíz de un número con exponente, se dividen
• Si un número tiene dos exponentes, se multiplican

1. Inspección:

Primer Caso: x2+ bx + c  

[x+ N (mayor)] [x+n (menor)]

Para factorización un trinomio de esta forma, se buscan dos números enteros N y n tales que a la vez den las siguientes condiciones

• N ∙ M = C
• N + M = B

Construcción de signos [pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

        ∙              =

X2 + BX+ C

[x 1 N] ∙ [x 3 n ]

Proceso[pic 7][pic 8]

x2+15x+36                                                                   36

 (x+13) (x+3)

Notas

• Si A es negativo se saca el menos y se le cambia signos a todos los términos
• Algunas veces se puede hacer inspección cuando hay 4 términos, simplemente se escogen los términos con los que se puede hacer inspección y se ponen en un paréntesis y se deja afuera el término que no sirve

Segundo caso: ax2+ bx+ c

A>0;  A= 1[pic 9]

Buscamos dos números enteros que sumados den  B y multiplicado den C´:  

A∙ C = C´

• N ∙ M = C´
• N + M = B

[ax 1 N] [ax 3 n][pic 10]

                  A

Si encontramos los valores de N y n en este método existe un factor común en uno o ambos paréntesis que eliminan el valor de a en el denominador

Proceso:

6x2-19x + 14        12+7=19[pic 11]

(6x-12) (6x-7)                                                                                 C´= 6 ∙ 14= 84

 6[pic 12]

F.C. = 6 (x-2) (6x-7)[pic 13]

        6[pic 14]

= (x-2) (6x-7)

Reducir Trinomios a segundo grado

-36-5x2+x4 

x4 -5x2-36

Aplicamos una sustitución

Sea:

• u= x2
• u2= x4 

u2-5u-36        9-4= 5[pic 15]

(u-9) (u+4)        36

Volver a sustituir por el término que estaba antes

(x2-9) (x2+4)

Aún se puede factorizar más

= (x+3) (x-3) (x2+4)

1. Factorización de trinomios cuadrados perfectos

(A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2 

Condiciones que debe de tener para ser T.C.P.

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