Serie y transformada de Fourier

Serie y transformada de Fourier

Básicamente la Transformada de Fourier se encarga de transformar una señal del dominio del tiempo, al dominio de la frecuencia, de donde se puede realizar su anti transformada y volver al dominio temporal. A lo largo de este trabajo la Serie de Fourier, Ejercicios referentes al seno y coseno, las Transformadas de Fourier, propiedades e interpretación.

SERIE DE FOURIER

Sea una función f(t) una función periódica de periodo T, la cual se puede representar por la serie trigonométrica

donde 0=2/T.

Una serie como la representada se llama serie trigonometrica de Fourier. Esta serie también se puede representar así:

Ejemplo 1: Deducir la forma de y expresar Cn y n en términos de an t bn.

Se puede expresar así

se utiliza la entidad trigonométrica

donde

por consiguiente,

ó

También si se hace

Se Obtiene

Es obvio que la representación de Fourier de una función periódica, representa la función como la suma de componentes sinusoides que tienen diferentes frecuencias. La componente senosiudad de frecuencia se denomina la enésima armónica de la función periódica. La primera armónica comúnmente se conoce como la componente fundamental porque tiene el mismo período de la función y se conoce como la frecuencia angular fundamental. Los coeficientes Cn y los ángulos n se conocen como amplitudes armónicas y ángulos de fase, respectivamente.

Funciones Periódicas

Una función periódica se puede definir como una función para la cual

(1.1)

para todos los valores de t. La constante mínima T que sastiface la relación , se llama el período de la función. Mediante repetición de , se obtiene:

En la siguiente función se muestra un ejemplo de una función periódica

Ejemplo 1: Encontrar el periodo de la función

Si la función f(t) es periódica con un periodo T, entonces, de se tiene

puesto que cos( + 2 m)=cos  para cualquier entero m se tiene que

donde m y n son enteros, Por consiguiente T= 6m; cuando m = 4 y n = 3, se obtiene el mínimo valor de T. (esto se puede ver mediante el procedimiento de ensayo y error). De donde, T = 24

en general, si la función

es periódica con período T, entonces es posible encontrar dos enteros m y n tales que

1T = 2nm

2T = 2mn el cociente es

es decir, la relación 1 / 2 debe ser un numero racional.

Ejemplo 2: Decir si la función es una función periódica.

Aquí y . Puesto que

no es un número racional, es imposible encontrar un valor T que satisfaga por consiguiente f(t) no es una función periódica.

Ejemplo 3: Encontrar el periodo de la función

Si aplicamos la identidad trigonométrica se tiene

Puesto que una constante y una función periódica de periodo T para cualquier valor de T, el período de cos 2t es , se concluye que el periodo de f(t) es .

Demostrar que si f(t + T) = f(t), entonces.

Serie Senos y Cosenos

Coeficiente de una serie de senos

Ejemplo: Se tiene que {sen nx: n  1} es un conjunto ortogonal de funciones en [0,]. Entonces se Obtiene

ya que

Representación de una constante por una serie de senos

Exprese f(x) = 1 como una serie en términos del conjunto ortogonal de funciones {sen nx : n  1} en [0, ].

Así es

Esta serie se puede expresar como

Serie de Fourier de cosenos

Suponga que se tiene una función f(x) definida en el intervalo [0,L]. Primero se mostrará cómo construir la serie de cosenos. Como se tiene interés en los valores de la serie sólo en el intervalo [0, L], se puede definir f(x) de cualquier manera fuera de este intervalo. Con el fin de obtener una serie solo con términos de cosenos, se definirá una extensión periódica par de f(x).

Teorema Serie Cosenos

Si f(x) es una función diferenciable por partes [0,L], la serie de Fourier de cosenos para f(x) es

donde

(n  1)

Ejemplo: Serie de Fourier de cosenos

Sea f(x) = x en [0, 2]. Encuentre la serie de Fourier de cosenos para f(x)

Se tiene, con L = 2 y f(x) = x

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